Tropska interpolacija

Frank Sottile 
9. oktobra 2004, College Station, Teksas.
   Člen za Izdaja Emissary iz jeseni 2004, glasilo MSRI. ArXiv.org/math/0501146.


Vsi vedo, da dve točki določata črto, in mnogi ljudje, ki so študirali geometrijo, vedo, da pet točk na ravnini določi stožnico. Na splošno, če imate v ravnini m naključnih točk in želite skozi vse od njih opraviti racionalno krivuljo stopnje d, ne moremo rešiti te interpolacijske težave (če je m prevelik) ali neskončno število rešitve (če je m premajhen) ali končno število rešitev (če je m ravno desno). Izkazalo se je, da “m ravno desno” pomeni m = 3d-1 (m = 2 za črte in m = 5 za stožnice).

Še težje vprašanje je, če je m = 3d-1, koliko racionalnih krivulj stopnje d interpolirajo točke? Pokličimo to številko Nd, tako da sta N1 = 1 in N2 = 1, ker sta črta in stožnica prejšnjega odstavka edinstvena. Že dolgo je znano, da je N3 = 12, leta 1873 pa je Zeuthen [Ze] pokazal, da je N4 = 620. To je bilo, ko so zadeve stale pred približno desetimi leti, ko sta Kontsevich in Manin [KM] uporabila asociativnost v kvantni kohomologiji, da bi to število ponujala elegantno.

Raziskovalne teme v semestru MSRI Winter 2004 za topološke vidike realne algebraične geometrije so vključevale enumerativno realno algebraično geometrijo, tropsko geometrijo, realne krivulje ravnine in aplikacije realne algebraične geometrije. Vsi so vtkani v razvijajoči se zgodbi tega interpolacijskega problema, prototipnega problema enumeracijske geometrije, ki je umetnost štetja geometrijskih številk, ki jih določajo določene pogostosti. Tukaj je še ena težava: koliko vrstic v prostoru izpolnjuje štiri določene vrstice? Če želite odgovoriti na to, upoštevajte, da tri vrstice ležijo na edinstvenem dvoplastnem hiperboloidu.

Tri vrstice so v enem odločanju, druga odločitev pa je sestavljena iz vrstic, ki izpolnjujejo navedene tri vrstice. Ker je hiperboloid definiran s kvadratno enačbo, jo bo četrta črta dosegla v dveh točkah. Skozi vsako od teh dveh točk je v drugi odločbi črta, to sta dve vrstici, ki ustrezata našim štirim danim vrsticam.

Enumerativna geometrija najbolje deluje na kompleksnih številih, saj je število realnih številk precej subtilno odvisno od konfiguracije številk, ki dajejo pogostost. Četrta črta lahko na primer izpolnjuje hiperboloid v dveh pravih točkah ali v dveh kompleksnih konjugiranih točkah, zato sta dve ali nič resničnih vrstic, ki izpolnjujejo vse štiri. Na podlagi številnih primerov smo pričakovali, da bi lahko vsi enumeracijski problemi vse svoje rešitve bili resnični [So].

Druga taka težava je 12 racionalnih krivulj, ki interpolirajo 8 točk v ravnini. Večina matematikov je seznanjena z vozliščno (racionalno) kubično levo spodaj. Obstaja še ena vrsta resnične racionalne kubične, prikazane na desni.

              
 

V drugi krivulji se na izolirani točki srečata dve kompleksni konjugirani veji. Če pustimo N (t) število realnih krivulj tipa t, ki interpolirajo 8 danih točk, potem sta Kharlamov in Degtyarev [DK] pokazala, da

N(  ) – N(  ) = 8 .”

Tukaj je opis njihovih osnovnih topoloških metod.

Ker je takšnih krivulj največ 12, je N(  ) – N(  ) \ leq 12, zato obstaja 8, 10 ali 12 realnih racionalnih kubikov, ki interpolirajo 8 realnih točk v ravnini, odvisno od števila (0, 1, ali 2) kubike z izolirano točko. Tako bo 12 pravih racionalnih kubikov interpoliralo poljubno 8 od 9 točk presečišča dveh kubičnih spodaj.

Welschinger [W], ki je bil zadnji zimski MSRI postdoc, je ta primer razvil v teorijo. Na splošno so singularnosti resnične racionalne ravne krivulje C vozlišča ali izolirane točke. Pariteta števila vozlišč je njen znak s (C), ki je bodisi 1 ali -1. Glede na 3d-1 realne točke v ravnini, Welschinger šteje absolutno vrednost količine

 s( C ) ,

vsoto vseh realnih racionalnih krivulj C stopnje d, ki interpolirajo točke. Pokazal je, da ta tehtana vsota ni odvisna od izbire točk. Napišite Wd za ta invariant Welschingerja. Na primer, pravkar smo videli, da je W3 = 8.

To je bil preboj, saj je Wd (skoraj) prvi resnično netravni invariant v enumerativni realni algebrski geometriji. Upoštevajte, da je Wd spodnja meja za število realnih racionalnih krivulj skozi realne točke 3d-1 v ravnini in Wd \ leq Nd.

Mikhalkin, ki je bil organizator semestra, je ključ do računanja Wd z uporabo tropske algebraične geometrije [Mi]. To je geometrija tropskega semestra, kjer operacije max in + na realnih številkah nadomestijo običajne operacije + in množenja. Tropski polinom je kristalno linearna funkcija oblike

T(x,y)  =  max(i,j) {x i  +  y j  + ci,j} ,

kjer je izračun z običajnimi aritmetičnimi operacijami in je maksimalen prevzem končne podmnožice Z2 eksponent T in ci, j realni koeficienti števila T. Tropski polinom T definira tropsko krivuljo, ki je množica točke (x, y), kjer T (x, y) ni diferencibilen. Tukaj je nekaj tropskih krivulj.

Stopnja tropske krivulje je število žarkov, ki potekajo do neskončnosti v kateri koli od treh smeri zahod, jug ali severovzhod. Tropska krivulja je racionalna, če gre za kičastno linearno potopitev drevesa. Vozlišča imajo valenco 4.

Mikhalkin je pokazal, da obstaja le končno veliko racionalnih tropskih krivulj stopnje d interpoliranje 3d-1 generičnih točk. Medtem ko je število takšnih krivulj odvisno od izbire točk, Mikhalkin pritrdi pozitivne množnosti v vsako tropsko krivuljo, tako da tehtana vsota ne predstavlja in je dejansko enaka Nd. Prav tako je zmanjšal te množnosti in štetje tropskih krivulj v kombinatoriko mrežnih poti v trikotniku stranske dolžine d.

Mikhalkin je uporabil korespondenco, ki je vključevala mapo Log: (C *) 2 -> R2, ki ga definira (x, y) | -> (log | x |, log | y |) in določena “velika kompleksna meja” kompleksna struktura na (C *) 2. V tej veliki kompleksni meji se racionalne krivulje stopenj d interpolirnih 3d-1 točk v (C *) 2 deformirajo v “kompleksne tropske krivulje”, katerih slike pod logom so običajne tropske krivulje, ki interpolirajo slike točk. Množnost tropske krivulje T je število kompleksnih tropskih krivulj, ki tvorijo T.

Kaj pa pravih krivulj? Po tej korespondenci je Mikhalkin pri vsaki tropski krivulji pritrdil resnično množljivost in pokazal, da če tropske krivulje, ki interpolirajo dane 3d-1 točke, imajo skupno realno množino N, potem obstajajo 3d-1 realne točke, ki so interpolirane z N realnimi racionalnimi krivuljami stopnja d. Ta resnična množljivost se ponovno izrazi v smislu mrežnih poti.

Kaj pa Welschingerjev invariant? Na enak način je Mikhalkin pritrdil podpisano težo za vsako tropsko krivuljo (tropsko različico Welschingerjevega znaka) in pokazal, da ustrezna tehtana vsota ustreza Welschingerjevemu invariantu. Kot prej, se lahko ta tropska podpisana masa izrazi v obliki mrežnih poti.

Med semestrom MSRI so Itenberg, Kharlamov in Shustin [IKS] uporabili rezultate Mikhalkina za oceno Welschingerjevega invarianta. Pokazali so, da je Wd \ geq d! / 3, pa tudi

log Wd  =  log Nd  +  O(d),       log Nd  =  3d logd + O(d) .

Tako je vsaj logaritmično, da so najbolj racionalne krivulje stopnje d interpolirajočih 3d-1 realnih točk v ravnini realne.

Obstajajo še drugi primeri tega pojava spodnjih meja, od katerih je prva pred Welschingerjevim delom. Denimo, da je d enak in pustimo W (s) resničen polinom stopnje k (d-k + 1). Potem sta Eremenko in Gabrielov [EG] pokazala, da obstajajo pravi polinomi f1 (s), …, fk (s) stopnje d, katerih Wronski determinant je W (s). Pravzaprav so dokazali nižjo omejitev na število k-črk polinomov, do enakovrednosti. Podobno, medtem ko je v MSRI, Soprunova in I [SS] sta proučevala redke polinomske sisteme, povezane s posetsi, ki kažejo, da je število realnih rešitev omejeno spodaj zaradi neravnovesja signala. Takšne spodnje meje za enumeracijske probleme, ki pomenijo obstoj resničnih rešitev, so pomembne za aplikacije.

Na primer, ta zgodba je bila na večernih urah piva na pivu Delavnica MSRI o geometrijskem modeliranju in realni algebraični geometriji aprila 2004. Udeleženec Schicho je spoznal, da je rezultat W3 = 8 za kubike pojasnil, zakaj je bila metoda, ki jo je razvil, vedno delovala. To je bil algoritem za izračun približne parametrizacije loka krivulje preko realnega racionalnega kubičnega interpoliranja 8 točk na loku. Ostal je, da bi našli pogoje, ki zagotavljajo obstoj rešitev, ki je blizu luk. To je ravnokar rešil Fiedler-Le Touzé, postdoc MSRI, ki je študiral kubike (ni nujno racionalno), ki interpolirajo 8 točk, da bi razvrstili dejanske ravne krivulje stopnje 9.


Bibliografija

[DK] A. I. Degtyarev in V. M. Kharlamov, Topološke lastnosti realnih algebraičnih sort: Rokhlinova pot, Uspehi Mat. Nauk 55 (2000), št. 4 (334), 129-212.
[EG] A. Eremenko in A. Gabrielov, Degrees of real Wronski maps, Discrete Comput. Geom. 28 (2002), št. 3, 331-347.
[IKS] I. Itenberg, V. Kharlamov in E. Šustin, Logaritemska enakovrednost invariantov Welschingerja in Gromov-Witten, arXiv: math.AG/0407188.
[KM] M. Kontsevich in Yu. Manin, razredi Gromov-Witten, kvantna kohomologija in enumerativna geometrija, Comm. Matematika. Fiz. 164 (1994), št. 3, 525-562.
[Mi] G. Mikhalkin, Enumerativna tropska algebraična geometrija v R2, arXiv: math.AG/0312530.
[SS] E. Soprunova in F. Sottile, Spodnje vezi za resnične rešitve za redke polinomske sisteme, arXiv: math.AG/0409504.
[Torej] F. Sottile, Enumerativna realna algebraična geometrija, Algoritemska in kvantitativna realna algebraična geometrija (Piscataway, NJ, 2001), DIMACS Ser. Diskretna matematika. Theoret. Comput. Sci., Vol. 60, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2003, str. 139-179.
[W] J.-Y. Welschinger, invariants realnih racionalnih simplektičnih 4-manifoldov in spodnjih meja v realni enumerativni geometriji, C. R. Math. Acad. Sci. Pariz 336 (2003), št. 4, 341-344.
[Ze] H. G. Zeuthen, Almindelige Egenskaber in Systemer af plane Kurver, Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, Naturvidenskabelig in Mathematisk, Afd. 10 Bd. IV (1873), 286-393.

 

Vir: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html

Interaktivni računalniški modeli za analitično kemijsko poučevanje

Tom O’Haver
Profesor emeritus
Oddelek za kemijo in biokemijo
Univerza Maryland na College Parku
toh@umd.edu

http://terpconnect.umd.edu/~toh/models/

Zadnja posodobitev: januar, 2016

Spektroskopija Instrumentacija in metodologija


Barvna temperatura črnega izvora

Animirana difrakcijska mreža

Fotomultiplier Svetloba Merjenje Sistem

Monokromator

Primerjava analitskih kalibracijskih metod

Spektrometrija z več valovno dolžino

Zaklepanje ojačevalnika

Modulacijski sistem valovnih dolžin

Molekularna spektrometrija


U.V.-vidni spektrofotometer

Spektrofotometer z dvojno valovno dolžino

Instrumentalna odstopanja od Beerovega zakona

Metode umerjanja krivulje v absorpcijski spektroskopiji

Razmerje med signalom in hrupom absorpcijske spektrofotometrije

Učinek razrezane širine na razmerje med signalom in hrupom v absorpcijski spektroskopiji

Skeniranje fluorescenčnega spektrometra

Fluorescenčna spektroskopija Razmerje med signalom in hrupom

Atomska spektrometrija


Signal in Photon SNR atomskega emisijskega spektrometra

Učinek razrezane širine na emisijsko spektroskopijo SNR

Prekrivanje linijskih kril
Spektroskopija atomske absorpcije  

Klasične, električne in računske metode

Delovni listi za analitične kalibracijske krivulje 


Kalcijev ionski selektivni elektrodni model

Resolucija kapilarne kromatografije

Model diskretne ravnovesne kromatografije

Analiza podatkov titracije Triprotic

Model monoprotske titracijske krivulje

To je zbirka brezplačnih, prenosljivih, interaktivnih računalniških modelov skupnih analitskih instrumentov in tehnik. Večina ima vmesnik s točko in klikom; kliknete gumbe in povlečete drsnike za nadzor spremenljivk in model se odziva dinamično, pogosto veliko hitreje kot v realnem času. Upoštevajte, da to dejansko niso simulacije določenih komercialnih instrumentov. So precej interaktivno manipulativni matematični modeli, ki so v bistvu sklopi povezanih enačb, ki opisujejo različne dele ali vidike vsakega sistema. Prednost povezave teh enačb v preglednici je ta, da učencem in inštruktorjem omogočita, da raziščejo, kako te zveze učbenikov vplivajo drug na drugega. Moji modeli vam omogočajo, da spremenite številne kemične in instrumentalne spremenljivke, ki vplivajo na izid, vključno z ne samo spremenljivkami, ki so običajno nastavljive v laboratoriju (kot je valovna dolžina spektrometra ali koncentracija kemične raztopine), ampak tudi instrumentalne spremenljivke zasnove, ki jih določi proizvajalec instrumentov in jih eksperimentator običajno ne more prilagoditi (kot je gostota reže ali goriščna razdalja spektrometra).

Večina preglednic izdeluje grafe in grafikone, ki ponazarjajo notranjo delovanje ali posnemajo izhode, ki jih ustvarjajo ti sistemi. Ker so le preglednice, je učiteljem in učencem enostavno pregledati enačbe, ki vozijo te modele. Za razliko od zaprtih lastniških programov, matematična osnova teh modelov ni skrita, temveč lahko dostopna in je lahko pregledana, spremenjena, popravljena ali razširjena s strani inštruktorja, ki je seznanjen z osnovami moderne preglednice.

Te modele sem prvotno oblikoval za tečaje, ki jih sem poučeval med leti 1990 na Univerzi v Marylandu v College Parku: Instrumentalna analiza (visoki dodiplomski dodiplomski laboratorij) in spektrokemijske metode (tečaj predavanj). Tablice so temeljile na ravni zdravljenja v učbenikih za te tečaje in so bile zasnovane tako, da jih posamezni učenci uporabljajo kot domačo nalogo za uporabo v razredu v računalniškem laboratoriju, v laboratoriju za analizo učencev podatkov ali kot dodatek laboratorijskim poskusom, da bi omogočili preiskave osnovnih vedenjskih sistemov, za katere čas v laboratoriju ni na voljo. Tablice lahko uporablja tudi inštruktor v predavalskih predstavitvenih okoljih. V večini primerov so vključeni izročki študentov in predlagani poskusi.

Matematična podlaga za vsak model je opisana v datotekah PDF, vključno z vsemi definicijami celic in enačbami, ki se nanašajo na spremenljivke. Enačbe sami običajno vzamemo neposredno iz tipične učbenike za vsako temo, včasih z dodatki iz drugih virov ali z dodatkom majhnih količin naključne variabilnosti, da se vedenje približa dejanskim merilnim sistemom.

Inštruktorji lahko te tabele spremenijo in jih vabijo na kakršenkoli način za svoje študente. Oglejte si nenaročene komentarje uporabnikov spodaj od dejanskih uporabnikov teh preglednic.

Različice OpenOffice Calc
Calc je format odprtih dokumentov Open Document, ki je del OpenOffice Suite, ki ga študentje in fakultete lahko brezplačno kupijo in uporabljajo brezplačno iz OpenOffice.org za Windows, Macintosh in Linux. Calc je v osnovi enak kot Excel. Če želite zagnati te preglednice v računalniku, najprej prenesite namestitveni program OpenOffice (prenesite s spletnega mesta openoffice.org), nato ga namestite (z dvojnim klikom na datoteko namestitvenega programa, ki ste jo pravkar prenesli), nato pa prenesite moje preglednice s tega spletnega mesta. Ko je nameščen OpenOffice, lahko zaženete moje preglednice samo tako, da dvokliknete na njih. Oblačila OpenOffice vključujejo tudi celovit besedilni procesor, predstavitveni program in druge komponente. Študenti ne potrebujejo nakupa drage zbirke Microsoft Office; najnovejša različica OpenOffice je vedno na voljo za brezplačen prenos. Opomba: če prenesete posamezne preglednice .ods datotek z nekaj različicami programa Interent Explorer, bodo tipi datotek spremenjeni iz “.ods” v “.zip”; boste morali urejati imena datotek in spremeniti razširitve nazaj v “.ods”, da bodo lahko pravilno delovale. Ta težava se ne pojavi v Firefoxu ali v Chromu.

Različne različice teh modelov bodo na voljo tudi na LibreOffice Calcu, na primer ki deluje na Raspberry Pi 3.

Microsoft Excelove različice
Če želite zagnati različice Excel (.xls ali .xlxs), morate imeti nameščeno nedavno različico programa Excel, po možnosti v letu 2013 ali pozneje. Interoperabilnost Excelovih “.xls” in OpenOffice Calc “.sls” datotek je bila izboljšana v Excelu 2013 in OpenOffice različici 4, ki omogoča branje in shranjevanje v drugačnih oblikah, vendar še vedno obstajajo nekatere težave v zvezi s pisavami, kontrolami obrazcev (zlasti radio gumbi, potrditvena polja in drsniki) in imenovane spremenljivke. Postopoma poskušam popraviti te težave in zagotoviti prilagojeno različico xls, ki je bila preskušena v programu Excel 2013. Če mi ne najdete, kaj želite tukaj, mi sporočite. Priporočam tudi Scott Sinexovo odlično zbirko interaktivnih preglednic Excel.

WingZ različice
Ti modeli so bili prvotno razviti v zgodnjih devetdesetih letih v WingZ (.WKZ) formatu, prvi objektno usmerjeni preglednici z vgrajenim skriptnim jezikom HyperScript., Vendar je ta program zastarel. To je še vedno koristna oblika, ker ima jezik HyperScript nekaj edinstvenih zmogljivosti, ki so koristne pri tej vrsti simulacije, in ker ima programski predvajalnik WingZ zelo skromen odtis pomnilnika in se izvaja zelo hitro tudi pri starejših, manjših ali počasnejših 32 -bitni računalniki (vendar ne na žalost v 64-bitnem sistemu Windows). Te modele postopoma ponovno vnašam v industrijsko standardni, nelastniški obliki Open Document (z OpenOffice Calc) in v Excelu, vendar dokler to delo ne bo končano, bodo nekatere od njih na voljo le v originalni WingZ obliki. Če želite odpreti datoteke WKZ, potrebujete aplikacijo »player«, ki je vključena v naslednje arhive datotek za oba računalnika in Mac:

Uporabniki računalnikov: Kliknite, če želite prenesti osnovni nabor modelov WingZ in aplikacijo predvajalnika kot datoteko ZIP (700 Kbytes)
Uporabniki računalnikov Mac: Shift-klik, da prenesete osnovni nabor modelov WingZ in aplikacijo igralca kot datoteko SIT (500 Kb)

Kako odpreti datoteke WKZ: Obe zgornji datoteki vsebujeta aplikacijo WingZ, ki je potrebna za odpiranje datotek WKZ. Poskrbite, da so VSE datoteke v tem prenosu shranjene v isti mapi. V isto mapo postavite ločeno prenesene modelske datoteke (.wkz datoteke). Če želite zagnati model, najprej zaženite Wingz.exe, nato odprite datoteke WKZ iz Wingz (File => Open). (Če želite WingZ zagnati, ko dvokliknite datoteko WKZ, morate v datoteko WKZ vnesti novo vrsto datoteke v Orodja => Možnosti mape => Vrste datotek). Opomba: Najprej je najboljše prenesti osnovni nabor modelov, da se prepričate, da imate vse potrebne dele, nato pa občasno ponovno preverite za nove modele, ki jih lahko prenesete posamično in nato premaknete v mapo s krilcem.exe.

Če imate predloge za druge modele, kot so ti, ki bi jih želeli videti, jih prosim pošljite na naslovu toh@umd.edu

Kaj imajo študentje o teh modelih?


Neželene pripombe uporabnikov v drugih institucijah

“Hvala za takšno fantastično vir in za očiten napor, ki je šel v njeno ustvarjanje …. ste resnični stevard naše discipline. ”

“… vašo natančno razloženo spletno mesto … mi je pomagalo izjemno … To je odličen vir”.

“Jaz sem bil navdušeni, da bi našli vašo spletno stran …!

“Kakšen božji dar je bil najti vaše goljufije na kalibracijskih krivinah.”

“… vaš papir in eksperiment [je] zelo koristen zame.”

“Oni so zelo enostaven za uporabo in mi je veliko pomagal. ”

“Je izjemno kos dela … vaši “interaktivni računalniški modeli za analitično kemijsko pouk”

“Ta stvar je resnično impresivno delo …. ”

“… preprost za uporabo in razumevanje … mi je prihranilo veliko ur dela …”

“… zanimivo brezplačna interaktivna programska oprema. ”

“Vaša spletna stran mi je zelo pomagala in veliko pojasnil meni.”

“Vesel sem, da sem našel vašo spletno stran, saj ima nekaj zelo dragoceno informacije, pomembne za projekte, na katerih trenutno delam. ”

“Vaši modeli in zapisi so odlični. To je izjemno prispevek za študente in člane fakultete iz držav v razvoju. ”

“… moja globoka hvaležnost za čudovito interaktivni modeli difrakcije rib; so v toliko besedah poučno in nepogrešljivo. ”

“Vse sem lahko dobil lepo deluje in vam lahko obljubim, da bodo pomoč z mojimi učenci. ”

“Danes sem imel prvi poskus simulacije in študenti so bili navdušeni …. ”

“[Simulirani] laboratorij je bil veliko bolj zanimiv kot predavanje, to je gotovo! … sem imel zelo dobre povratne informacije od študentov … ”

“… hvala toliko za vašo spletno stran !!!”

“… Našel sem [vaše delovne liste] odlična uporaba medtem ko delam na mojem trenutnem projektu. ”

Lepo delo … in veliko tega. Tvoje stvari so čudovito! ”

“Našel sem vašo spletno stran zelo informativnega.”

“Kar vam je všeč pri demonstraciji rešetke je, da jasno kaže, kako povečana disperzija povzroča, da imajo različne valovne dolžine potovanje različnih razdalj do senzorja ….”

“Naj vam čestitam na lepi spletni strani! Inženir tehnične podpore za Wingz … in Rdeče teče čez takšno sofisticirano uporabo naših izdelkov. ”


Reference
1. Scott Sinex, Chemical Excelets: interaktivni preglednici Excel za splošno kemijo. (http://academic.pgcc.edu/~ssinex/excelets/chem_excelets.htm)
2. Kemija PhET simulacije (http://phet.colorado.edu/sl/simulations/category/chemistry)
3. Brian Tissue, Simulacije preglednic za analitično in fizično kemijo (http://www.tissuegroup.chem.vt.edu/chem-ed/simulations/spreadsheets.html)
4. Gizmos. Komercialne spletne interaktivne simulacije, ki se knjižijo kot “največja svetovna knjižnica simulacij matematike in znanosti”: https://www.explorelearning.com/
5. Flick Coleman, “Interaktivne demonstracije preglednic za uvodno, anorgansko, analitično in fizično kemijo,” http://academics.wellesley.edu/Chemistry/wfc/wfcspreadsheets.html

 

Tu lahko najdete izvirno objavo v angleščini: http://terpconnect.umd.edu/~toh/models/

Uvod v optimizacijo, četrta izdaja

Edwin K. P. Chong in Stanislaw H. Żak

Wiley-Interscience Serije v diskretni matematiki in optimizaciji
John Wiley & Sons, Inc.
New York
avtorske pravice © 2013
ISBN: 978-1-1182-7901-4
640 strani


Z zadnjega pokrova:

Hvalnica za tretjo izdajo
“… vodi in vodi bralca skozi učno pot … primeri so zelo jasno navedeni in rezultati so predstavljeni s podrobnostmi.”
Mnenja MAA

V celoti posodobljen, da odraža nove dosežke na tem področju, četrta izdaja Uvod v optimizacijo dopolnjuje potrebo po dostopni obravnavi teorije in metod optimizacije s poudarkom na inženirskem oblikovanju. Poleg osnovnega ozadja za linearno algebro, geometrijo in računanje so podane tudi osnovne definicije in notacije.

Ta nova izdaja raziskuje bistvene teme nezapletenih optimizacijskih problemov, problemov linearnega programiranja in nelinearne omejene optimizacije. Avtorji predstavljajo tudi optimizacijski pogled na globalne metode iskanja in vključujejo razprave o genskih algoritmih, optimizaciji rojstev delcev in simuliranem žarjenju algoritma.

Četrta izdaja z elementarnim uvodom v umetne nevronske mreže, konveksno optimizacijo in multi-objektivno optimizacijo ponuja tudi:

  • Novo poglavje o celovitem programiranju
  • Razširjena pokritost enodimenzionalnih metod
  • Posodobljeni in razširjeni odseki o neenakosti linearne matrike
  • Številne nove vaje na koncu vsakega poglavja
  • MATLAB® vaje in vrtanje, da bi okrepili obravnavane in algoritme
  • Številni diagrami in številke, ki dopolnjujejo napisane ključne koncepte
  • MATLAB® M-datoteke za izvajanje obravnavane teorije in algoritmov (na voljo na spletni strani knjige)

Uvod v optimizacijo, četrta izdaja je idealna učbenik za teorije in metode optimizacije. Poleg tega je knjiga tudi uporabna referenca za strokovnjake iz matematike, operativne raziskave, elektrotehniko, ekonomijo, statistiko in poslovanje.


Napaka

Na voljo je posodobljena napaka.


Kratka vsebina

(A podrobnejši kazalnik vsebine Na voljo.)

Predgovor

I. del Matematični pregled

1 Metode dokazovanja in nekatere notacije
2 vektorska prostora in matrika
3 Transformacije
4 Koncepti iz geometrije
5 Elementi izračuna

 

Del II. Neomejena optimizacija

6 Osnove set-omejene in neobremenjene optimizacije
7 Enodimenzionalne metode iskanja
8 Gradient metode
9 Newtonova metoda
10 Metode konjugiranih smeri
11 Quasi-Newtonove metode
12 Reševanje linearnih enačb
13 Neomejena optimizacija in nevronska omrežja
14 Algoritmi globalnega iskanja

 

Del III. Linearno programiranje

15 Uvod v linearno programiranje
16 Simpleks metoda
17 Dvojnost
18 Nonsimpleksne metode
19 Integrirano linearno programiranje

 

Del IV. Nelinearna omejena optimizacija

20 Težave z omejitvami enakosti
21 Težave z omejitvami neenakosti
22 Konveksne težave pri optimizaciji
23 Algoritmi za omejeno optimizacijo
24 Multiobjective Optimizacija

 

Reference

Indeks


Informacije za naročanje

Wiley ima informacije o tem kako naročiti knjigo.
Samo za inštruktorje: Kopije priročnikov za rešitve potekajo v pisarni Wiley’s New York. Za kopijo priročnika za rešitve pošljite uradno pismo na univerzitetni pisemski pisarni na 201-748-6825 ali se obrnite na Kathleen Pagliaro (kpagliaro@wiley.com)


Spletna stran za tečaje:


Professor Edwin Chong, Email

 

Izvirni članek: http://www.engr.colostate.edu/~echong/book4/

Trominška puzzle

z
Norton Starr

O puzzleu  Zgodovina  Variacije  Reference  Igraj

 

O puzzle – fizično in virtualno

v-21 puzzle Osnovna uganka je sestavljena iz 21 pravokotnih kosov (“ploščice”) prikazane vrste, sestavljene iz treh kvadratov; ena dodatna enojna kvadratna ploščica; in ravnino, 8 × 8 kvadratnih mrež, katerih kvadratki so enake velikosti kot ploščice. Ploščice zasedajo skupno 3 × 21 + 1 = 63 + 1 = 64 kvadratov, enako številko kvadratov kot na šahovnici. V nadaljevanju jih imenujemo tromini kot najpreprostejši od več imen, ki jih za njih uporabljamo, med katerimi so L-tromini, L-triomini in V-tromini.

Če želite igrati fizično verzijo te sestavljanke, uporabite 21 dejanskih tromino ploščic, en kvadratni del in 8 × 8 podnožje, podobno kotni plošči, najprej postavite eno kvadratasto ploščico na katero koli od 64 kvadratnih mest na dnu. Nato preostalih 63 kvadratov napolnite s tromino, tako da ni prekrivanja in brez praznega kvadrata. Takšna rešitev sestavljanke se imenuje ploščica kvadrata 8 × 8. Druga možnost je, da začnete z zaporednim postavljanjem trominov v osnovno ploščo (vsaka taka ploščica zaseda le tri kvadratke vzorca mreže) in ko so vsi položeni, postavite posamezno kvadratno ploščico v en položaj, ki je na voljo.

Tukaj je ozadje komercialne različice te uganke, ki jo tržijo podjetja Kadon Enterprises. Na letnem srečanju Matematičnega združenja Amerike januarja 2000 je Arthur Benjamin prejel nagrado Haimo za ugledno poučevanje koledža. V svojem sprejemnem govoru je z indukcijo skiciral svoj najljubši dokaz. Ta razlaga zagotavlja, da lahko kvadratni kvadrat 2n × 2n (tj. Splošna kontrolna plošča z 2n kvadratoma na vsaki strani) z eno celico zasedeno, lahko vedno označijo s tromino. Tri leta po zaslišanju Benjaminovih pripomb sem predavanje o indukciji in opozoril na njegov najljubši dokaz. Z dopolnjevanjem mojih pripravljenih primerov, sem zaradi Solomona Golombja razkril ta klasičen argument. Razmišljam, da bi dejanska uganka te vrste pripomogla k elementu realnosti in bi lahko spodbudila zanimanje za metodo indukcije, sem poslal temo Kadonu, vodilnemu proizvajalcu sestavljanke, da vidim, če bi jih lahko kupil. Niso, zato sem vprašal, ali bi nekaj naredili mojim specifikacijam. Serija elektronskih sporočil s predsednikom Kadona Katejem Jonesom je pripeljala do uganke, ki je prikazana zgoraj levo. Predlagala je uporabo več različnih barv za tromino ploščice, zaradi česar je to bolj zanimiva uganka, kot sem prvotno mislil. Odločil sem se za hladnejše, prosojne ploščice, ne pa drzne, neprozorne in izbrali modre, aqua in ametiste za tromine.

Kate je vprašala, ali bom dovolil, da bi Kadonu dodal uganko na paleto predmetov, ki jih prodajajo, in sem se hitro strinjal – samo nekaj sem si želel za lastno uporabo. Na moje presenečenje je izjavila, da bom prejemala licenčnine. To nikoli ni bil moj cilj, vse moje avtorske pravice pa so bile podarjene Amherstu College in Matematično združenje Amerike.

Kadon je predstavil uganko pod imenom “Vee-21”; glej www.gamepuzzles.com/polycub2.htm#V21. Ta komercialna različica, v treh živahnih, prosojnih akrilnih barvah, prinaša brošuro za štirideset strani, ki ponuja številne izboljšave osnovne uganke. Kate je prispevala nekaj podaljškov uganke, nekaj strateških iger za dve osebi in predlagal ločene barvne zahteve za nagibanje. Ugotovila je tudi estetske možnosti pri izdelavi simetričnih vzorcev. Kate je Oriel Maximé pozvala, naj prispeva nekaj njegovih izzivov, podobnih labirintu, za polaganje s tromino, brošura pa vsebuje različne pravokotne predloge s strateško izbranimi linijami mrež, ki so zatemnjene, da bi služile kot ovire, na katerih se tromini ne smejo postaviti.

Tukaj sta na voljo dve interaktivni računalniški uganki te vrste. Sestavljanka 8-do-8 sta razvila dva moji dijaki, sodelavec oddelka pa je prispeval k sestavljanki M-by-N. Uganka M-by-N (igra na večini sistemov, vendar se lahko počasi naloži) je nekoliko prožnejša, kar omogoča izbiro poljubnega števila vrstic in stolpcev med 2 in 32, vključno. 8-do-8 sestavljanke (igra najboljše z Internet Explorerjem na osebnem računalniku) ima drugačno miško in je koristno omejeno na tri barve tromina. Navodila so podana z vsakim. Spletne in Kadonove različice imajo tako nenavadno široko privlačnost, zanimivo za štiriletnike kot tudi začinjene puzzlerje.


Zgodovina

Dokaz, da je za poljubno pozitivno celo število n, kvadrat 2n × 2n z eno celico zasedeno (“pomanjkljiv” kvadrat), je vedno mogoče označiti s tromino zaradi Solomona Golomba. Objavil ga je leta 1954 v članku [9] v ameriškem matematičnem mesečnem. Kot je navedeno zgoraj, je bilo treba ponazoriti Golombov argument za 2n × 2n pomanjkljive kvadrate, za katere je bila sestavljena uganka. Njegov isti članek je v tiskani obliki predstavil izraz tromino in njegovo generalizacijo, poliomino. Poliomino je povezana matrika enakih kvadratov, ki imajo lastnost, da se katera koli dva kvadrata bodisi ne dotikajo ali se ne srečata po celotnem, skupnem robu. Edini dve tromini obliki so trije kvadratki v vrsti in L-oblika te sestavljanke, tukaj pa se “tromino” nanaša samo na slednje.

Golombov dokaz je prvi primer matematične indukcije. Poleg čiste elegancije argumenta je to redek primer nenumerične uporabe metode. To je v nasprotju s primeri in vajami, ki jih pogosto najdemo v učbenikih za indukcijo, ki običajno obsegajo različne formule za končne vsote, neenakosti in podobno. Dokaz je bil prvič nastopil v priljubljenem mediju v časopisu za rekreacijsko matematiko Josephom Madachyjem (RMM), kjer ga je Golomb vključil v prvi od štirih delnih člankov o poliominov, objavljenih v RMM [10]. V Martinu Gardnerjevem prvem majskem, 1957 znanstvenem ameriškem stolpcu, ki uvaja poliomine v širšo javnost, je pripomnil, da “lahko ploščo z enim kvadratom, ki manjka na kateri koli točki, pokriva 21 pravih tromino” [6, str. 154]. Za svojo prvo zbirko zbranih matematičnih iger stolpcev, Gardner izdelan z opozorilom, da “iznajdljivi indukcijski argument dokazuje, da bo 21 pravih tromino in en monomino pokrival 8-do-8 krovu, ne glede na to, kje se nahaja monomino” [8, str. 126].

Argument trominskega tlaka za pomanjkljive kontrolne plošče in splošna 2n × 2n izrek se je pojavil v zaporedju knjig od člankov Mesečni in RMM. Razloženo je bilo v Golombovih klasičnih polimomih [11, 1965, str. 21-22] in v drugi izdaji te knjige [11, 1994, str. 5]. Druga izdaja daje bogato zgodovino in obsežen pregled tega zanimivega predmeta in je napolnjena s slikami in uganki. Njegove 22 strani referenc, ki se sklicujejo na knjige in članke, so dodatni bonus. Indeks imen vsebuje 81 posameznikov, kar se jih je v telesu knjig večkrat omenilo. Mnogi izmed njih bodo prepoznali igralci in amaterski matematiki, pa tudi strokovnjaki na obeh področjih. Opis knjige je podan v pregledu [17] Georgea Martina. Leta 1976 je Ross Honsberger dal lucidno, podrobno uporabo Golombovega argumenta na tablo v svojih Mathematical Gems II [13, str. 61]. Temeljna ideja dokaza je omenjena tudi v knjigi Georgea E. Martina, posvečena poliomino tilings [16, str. 27-28]. Posebej zanimiva je ocena David Singmasterove [22] te nove knjige, ker daje čudovit skic predmeta in njene zgodovine.

Ta tema je tudi vse pogostejša cena za besedila in problemske knjige. Na primer, se pojavlja v diskretnih matematičnih besedilih Susane Epp [5, str. 234], Richard Johnsonbaugh (ki omenja tromine tlorisov pravokotnikov, ki nastanejo pri zasnovi VLSI) [14, str. 58-59] in Kenneth Rosen [20, str. 247-8]. Tromino polaganje je obravnavano tudi v knjigi Danielja Vellemana o izdelavi dokazov [26, str. 271-275] in problemskih knjig John P. D’Angela in Douglas B. West [1, str. 75] in Jiří Herman, Radan Kučera in Jaromír Šimša [12, str. 271]. Najbolj kristalinična ilustracija Golombovega argumenta je rezervni “dokaz brez besed” Rogerja Nelsena, ki je naveden v drugi knjigi tega naslova [19, str. 123].

To področje rekreativne matematike je imelo koristi od stalnega preiskovanja in predlaganih težav. Leta 1985 in 1986 sta I-Ping Chu in Richard Johnsonbaugh preučevala vprašanje ploščice, ki ima pomanjkljivo ploščo n × n, kjer n ni več potrebna moč 2 in, bolj splošno, pomanjkljive in nedefinirane pravokotne plošče [3, 4 ]. Knjiga Georgea Martina je vključevala celo poglavje, posvečeno trominskim tilinam [16, str. 23-37]. Težave pri barvanju trombina obdelujejo Ilvars Mizniks, ki priznava stran za izbiro barve Kadon Vee-21 kot navdih za svoje raziskave [18]. Članek iz leta 2004 [2] J. Marshall Ash in Solomon Golomb, o trominskem polaganju pomanjkljivih pravokotnikov, vsebuje nekaj novih in osnovnih rezultatov, od katerih eden odgovarja na staro vprašanje Chu in Johnsonbaugha. Pepel in Golomb končata z odprtim problemom o 2-pomanjkljivih pravokotnikih (pravokotnike z dvema celicama odstranjenim).

Internet je dober vir ploščatih zaslonov in informacij. Na primer, iskanje na “tromino” in “ploščice” prikaže aplete, kot so tiste, ki jih Alexander Bogomolny na www.cut-the-knot.org/Curriculum/Games/TrominoPuzzle.shtml in Christopher Mawata na www.utc.edu/ Fakulteta / Christopher-Mawata / trominos /, ki ponazarjajo tromino uganke več velikosti.


Variacije

Tukaj je nekaj razširitev tromino uganke, ki jo bralci lahko upoštevajo. Prvi je predlagal moj brat Raymond (Pete), ki je vprašal, kako bi lahko uredili tromino v mrežo 8 × 8, da bi povečali število nenaseljenih kvadratov. To je mogoče razložiti: ena pot bi domnevala, da so ploščice in mrežice zmečkani, da ostanejo na mestu, alternativno pa bi lahko omogočili, da bi ploščice drsile tako, da bi omogočili stiskanje čim večje število ploščic (vedno znotraj mrežnih linij). Pete se ni zavedal, da je verzija Velcro variacija na Golombovem pentominskem položaju, kot je opisal Gardner [7, str. 128] in [8, str. 133]. Golomb je to puzzle razširil na dvočlansko igro pentomina [7, str. 128] in [8, str. 133-135], pravila, ki bi se lahko uporabila tudi za tromino uganko. David Klarner je poročal o dvočlanski igri pentomina, Pan-Kāi (ki ga je razvil Alex Randolph in ga izdal Phillips Publishers leta 1961), ki je vključeval naslednjo omejitev: “najpomembnejše pravilo je, da je prepovedano igrati kos znotraj zaprto regijo tabele, če bi manj kot 5 celic ostalo neuporabljeno, razen če ta poteza natančno napolni regijo. “[15, str. 8] (glej [21, str. 75] za več informacij o Randolphu in Pan-Kāi.)

Druga smer je tridimenzionalna. Razmislite o kocki stranske dolžine 2n, ki vsebuje 23n enotske celice, od katerih je ena zasedena (posamezna pomanjkljivost.) Ali so preostale celice pokrite s tridimenzionalnimi tromini (tri kocke v obliki L, pri čemer sta dva od njih izpolnjeni tretji dve sosednji obrazi slednje)? Potreben pogoj, da 2n = 3k + 1 tudi zadostuje. [23, Poglavje 6: 3-dimenzionalna trombinska plošča Nortona Starrja], [24, str. 72-87], in [25] Primer 4 × 4 × 4 kocke predstavlja nekaj skromnih izzivov, ki lahko zabavajo mlade puzzle.

Preprostejši problemi zlahka nakazujejo sebe in jih obravnavajo številni drugi. Na primer, ali so lahko polne 3 × 3 in 6 × 6 kvadratne matrike označene s tromino? Ali je mogoče vsa pomanjkljiva kvadratka 5 × 5 in 7 × 7 kvadratnih ploščic? Te zadnje dve uganki so bolj zahtevne kot polne 3 × 3, 6 × 6 in pomanjkljivi 8 × 8 primeri. Nadalje, bralci lahko razmišljajo o različnih tleh različnih pravokotnih nizov – glejte spodnje reference. Pri uporabi različice z več kot eno barvo tromina, kot je Kadon Vee-21, upoštevajte različne barvne omejitve. Na primer, poskusite urediti ploščice, tako da nobena od dveh iste barve ne delita roba. V nasprotni smeri poskusite združiti čim več ploščic ene barve. Za obe vrsti vzorcev poskušajte še naprej postaviti ploščico simetrično glede na diagonalo ali vodoravno ali navpično črto. Priložnosti za zabavo in odkritje so številne. Različne velikosti se lahko preučijo s klikom na sestavljanko M-by-N. Za preizkuse barvnih vzorcev je najboljša sestavina Kadon.


Reference

 

 

  1. J. P. D’Angelo in D. B. West, Matematično mišljenje: Reševanje problemov in dokazi, Druga izdaja, dvorana Prentice, reka Upper Saddle, NJ, 2000.
  2. J. M. Ash in S. W. Golomb, “Pravokotniki s pomanjkljivostmi s tromini”, Math. Mag., 77 (2004), 46-55. (Na voljo na math.depaul.edu/~mash/TileRec3b.pdf)
  3. I. P. Chu in R. Johnsonbaugh, “Tiling pomanjkljive plošče s tromino,” Math. Mag., 59 (1986), 34-40.
  4. I. P. Chu in R. Johnsonbaugh, “Obloge s tromini”, J. Rekreativna matematika, 18 (1985-86), 188-193.
  5. S. S. Epp, Diskretna matematika z aplikacijami, tretja izdaja, Thomson, Belmont, CA, 2004.
  6. M. Gardner, “O izjemni podobnosti med Icosian Game in Hanojevim stolpom,” Scientific American, 196, (maj, 1957), 150-156. Ta stolpec je bil namenjen predvsem Hamiltonovim krogotokom, vendar se konča z delom na problemih s ploščicami s čeki: Gardner pravi, da je problem februarskega stolpca s checkerboard / domino problemom “spodbudil Octave Levenspiel iz Bucknell University, da mi opozarja na izjemen članek SW Golomb v ameriškem matematičnem Mesečno za december 1954. “
  7. M. Gardner, “Več o kompleksnih dominah, skupaj z odgovori na zadnje mesecne uganke”, Scientific American, 197, (december, 1957), 126-140. Ta stolpec matematičnih iger se začne s poročanjem o eksplozivnem učinku kratkega poročila stolpca v stolpcu Golombovega dela [6]: “V letu, odkar je bil ta oddelek odprt, je prejela več črk o enem matematičnem rekreaciji kot katerikoli drugi …” pentomino ” problem … Stotine korespondentov so poslali v zelo različnih rešitvah. Mnogi so pričali o nenavadni fascinaciji tega problema … “
  8. M. Gardner, Znanstvena ameriška knjiga matematičnih zagonetov in preusmeritev, Simon in Schuster, New York, 1959. (ponatisnjena in posodobljena kot heksaflekagoni in druge matematične preusmeritve, University of Chicago Press, 1988.) [Poglavje 13 prve tovrstne zbirke združuje ploščat material iz [6] in [7] in se imenuje “Polyominoes.”]
  9. S. W. Golomb, “Čeki in poliomini,” Amer. Matematika. Mesečno, 61 (1954), 675-682.
  10. S. W. Golomb, “Splošna teorija poliominov I. del – domini, pentomini in čeki,” rekreacijska matematika. Mag., Številka 4 (avgust 1961), 3-12.
  11. S. W. Golomb, Polyominoes, Scribner’s, New York, 1965. (Druga izdaja: Polyominoes, Puzzles, Patterns, Problems and Packings, Princeton University Press, Princeton, 1994.)
  12. J. Herman, R. Kučera in J. Šimša, štetje in konfiguracije: problemi v kombinatoriki, aritmetiki in geometriji (Karl Dilcher, prevajalec), Springer-Verlag, New York, 2003.
  13. R. Honsberger, Mathematical Gems II, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1976.
  14. R. Johnsonbaugh, diskretna matematika, šesta izdaja, dvorana Pearson Prentice, reka Upper Saddle, NJ, 2005.
  15. D. Klarner, sestavljalne sestavljalne sestavljanke. Večplastna nota, University of Waterloo, Ontario, 1973-74. 42 strani + naslovna stran. (Deli tega so povzeti v poglavju 8 Honsbergerja [13].)
  16. G. E. Martin, Polyominoes, Vodnik za uganke in probleme v polaganju ploščic, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1991.
  17. G. E. Martin, pregled polomominov S. Golomba (izdaja 1994), Matematični pregledi, MR1291821 (95k: 00006), 1995.
  18. I. Mizniks, “Računalniška analiza trojne barvne problematike za V-oblike”, Acta Societatis Mathematicae Latviensis, povzetki 5. latvijske matematične konference, 6-7 april 2004, Daugavpils, Latvija. (Na voljo na http://www.de.dau.lv/matematika/lmb5/tezes/Mjenjks.pdf)
  19. R. B. Nelsen, Dokazi brez besed II, Več vaje v vizualnem razmišljanju, Matematično združenje Amerike, Washington, DC, 2000.
  20. K. H. Rosen, Diskretna matematika in njegove aplikacije, Peta izdaja, McGraw-Hill, New York, 2003. (V 6. izdaji, 2007, se pojavi kot primer 13, oddelek 4.1)
  21. J. N. Silva (ur.) Rekreativna matematika Kolokvij I (konferenčni zbornik, 29. april-2. maj 2009. Univerza v Évori), Associação Ludus, Lisboa, 2010.
  22. D. Singer, pregled polinominov G. G. Martin, matematični pregledi, MR1140005 (93d: 00006), 1993.
  23. A. Sojen, Geometrijski Etudes v kombinatorni matematiki, 2. izdaja, Springer, New York, 2010.
  24. N. Starr, “Tromino talne defekte kocke stranske dolžine 2n”, Geombinatorics XVIII (2) (2008), 72-87.
  25. N. Starr, “Tromino kocke z dolgimi stranskimi dolžinami”, http://arxiv.org/abs/0806.0524, 3. junij 2008.
  26. D. J. Velleman, Kako to dokazati: strukturiran pristop, druga izdaja, Cambridge University Press, New York, 2006

 

Vir: http://www3.amherst.edu/~nstarr/trom/intro.html

Matematika filma “21”

Jeff Moehlis

Film “21” je zgodba o študentih MIT-a, ki “štejejo karte”, da bi izboljšali svojo verjetnost, da bodo v igralnicah dobili karto Blackjack. Ni presenetljivo, da ima ta film veliko matematike. Najbolj očitna je “štetje kart”, ki temelji na tehnikah, objavljenih v knjigi Edward O. Thorpe iz leta 1962 “Beat the Dealer”. Razprave o metodi in matematiki “štetje kart” so opisane na različnih drugih spletnih straneh. Na tej spletni strani se lahko seznanite z drugimi matematičnimi idejami, ki se pojavijo v filmu. Upam, da bo to povečalo vaše užitek v filmu in morda vas bo naučilo nekaj matematike!


Serija Fibonacci

V “21”, ko Ben Campbell (ki ga igra Jim Sturgess) praznuje svoj rojstni dan, torta pravi
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

To so prvi izrazi v seriji Fibonacci, ki je bil uporabljen kot primer v knjigi Liber Abaci, ki jo je leta 1202 izdal Leonardo Fibonacci. To dobite tako, da najprej napišete številke “0, 1“, nato pa vsako nadaljnjo številko določite kot vsoto prejšnjih dveh številk v seriji. Tako je tretja številka v seriji 1 = 1 + 0, četrta številka je 2 = 1 + 1, peta številka je 3 = 2 + 1 itd. Naslednja številka na torti bi bila 21 = 13 + 8 , za Benov 21. rojstni dan. Pameten, kaj? (Hmmm, ali se “21” nanaša na Blackjack ali Benovo starost?) Ben bo moral počakati, da bo njegov naslednji “rojstni dan Fibonacci” 34 = 21 + 13.

Drugo serijo Fibonacci lahko definirate tako, da določite različne številke v prvih dveh režah. Na primer, serija Fibonacci, ki se začne z “2, 5“, je

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, …


Problem Monty Halla

Upoštevajte naslednjo različico zadnjega kroga klasične TV show show Let’s Make a Deal:

Obstajajo trije vrati, za eno od njih pa je avto, za drugim pa koze. Če izberete vrata z avto za njim, si zaslužite avto. Sedaj, pravite, da izberete vrata 1. Gostiteljica Monty Hall nato odpre bodisi vrata 2 ali vrata 3, za katerimi je koza. (Ve, kaj je za vsakim vratom in nikoli ne odpira vrat z avtomobilom za njim.) Monty vam zdaj daje izbiro: ali želite držati vrata 1 ali preklopiti na druga vrata. Kaj morate storiti? Ali je to pomembno?

Podobno vprašanje je postavil Ben Campbell (ki ga je igrala Jim Sturgess) profesorja Micky Rosa (ki jo igra Kevin Spacey) v filmu “21”. Brez obotavljanja Ben to pravilno odgovarja, kar prepriča profesorja Rose, da bi Ben dober dodatek k njihovi “kartični ekipi”. Pred branjem, poskusite odgovoriti sami.

Eno od teh težav rešuje s primerjavo verjetnosti izbire avtomobila, če se z vašo prvotno izbiro držite verjetnosti, da boste izbrali avto, če boste preklopili, ko bo Monty odprl vrata. Upoštevajte, da ima avto enako verjetnost 1/3, da je za vratom 1, vrata 2 ali vrata 3.

Prvič, predpostavimo, da se vaša strategija drži prvotne izbire vrat 1. Potem ste zmagali samo, če je avto za vratom 1, tako da je vaša verjetnost zmage 1/3.

Dalje, predpostavimo, da je vaša strategija zamenjati vrata. To razkrijemo v tri primere:

  • Če je avto za vratom 1, bo Monty odprl vrata 2 ali vrata 3, da bi odkril kozo. Preklopite na drugo vrata 2 ali vrata 3, v vsakem primeru pa ste preklopili na vrata s kozo za njim (ne pozabite, avto je za vratom 1).
  • Če je avto za vratom 2, bo Monty odprl vrata 3. To je zato, ker vedno odpira vrata s kozo za njim in ne more odpreti vrata 1, ker je bila to vaša prvotna izbira. Torej, edina vrata, na katera lahko preidete, je vrata 2, ki so vrata z avtom. Ding! Zmagal si!
  • Če je avto za vratom 3, bo Monty odprl vrata 2. To je zato, ker vedno odpira vrata s kozo za njim in ne more odpreti vrata 1, ker je bila to vaša prvotna izbira. Torej, edina vrata, na katera lahko preidete, je vrata 3, ki so spet vrata z avto za njim. Ding! Zmagal si!

Torej, če vaša strategija zamenja vrata, dobiš 2/3 = 1/3 + 1/3 časa. (Ne pozabite, da je verjetnost 1/3, da je avto za vsakim posebnim vratom.) Zato je boljša strategija, da preklopite vrata – izračunane verjetnosti kažejo, da ste dvakrat verjetneje zmagali, če to storite! Benov pravilen odgovor v filmu “21” pomeni, da je dober človek za “štetje kartic”. Ne samo, da kaže, da je pameten, ampak tudi dokazuje, da se zaveda, da je najbolje iti z izbiro, ki povečuje vašo verjetnost zmage. To spoznanje je bistveno za uspeh “štetja kart” za Blackjack.

Leta 1990 se je podobno vprašanje pojavilo v pismu Marilyn vos Savantovemu kolu Ask Marilyn v paradi (ki prihaja v nekaterih nedeljskih časopisih). Marilyn je dal pravilen odgovor, a mnogi bralci (vključno z profesorji matematike) so menili, da je to napačno. Torej se ne počutite preveč slabo, če ste se motili, ko ste sami odgovorili. Zdaj pa veš!


Metoda Newton-Raphson

Iz razreda algebre lahko recite, da so rešitve enačbe

so podane s kvadratno formulo

Predpostavimo, da želite najti vrednost za x, ki rešuje splošno algebrsko enačbo

f(x) = 0.

Takšna vrednost za x se imenuje koren f (x). Razen pri posebnih izbirah f (x), kot je f (x) = a x2 + b x + c kot zgoraj, ne moremo najti korenin z uporabo algebraičnih operacij.

V filmu “21” profesor Micky Rosa (ki ga igra Kevin Spacey) predava metodo Newton-Raphson za iskanje korenin f (x). To so neodvisno razvili Isaac Newton in Joseph Raphson v 1600-ih. Zamisel je, da naredimo ugibanje korenine enačbe (karkoli jo imenujemo x0), potem pa uporabite to ugibanje, da ustvarite vrednost za x (pokličimo jo x1), ki je (upajmo) še bližje korenu od prvotne ugibati. To naredimo s črpanjem tangentne črte na funkcijo f (x) pri x = x0 in pri čemer x1 kot vrednost za x, pri kateri ta ravna črta poteka skozi nič. (Za tiste, ki poznate račun, boste prepoznali, da je to tangento črto določen z izpeljankom f (x).) S ponovnim postopkom ponovnega preizkusa, da bi ustvarili x2, x3, itd, dobimo (upajmo) vrednosti, ki so boljši in boljši približki korenu. Vedno sem rekel “upajmo”, ker metoda Newton-Raphson ni vedno uspešna, čeprav je verjetneje, če boste dobro začeli uganiti. Ta slika ponazarja metodo:

Ta metoda je bila razvita precej, preden so računalniki obstajali, vendar se izkaže za idealno za izvedbo na računalniku: ena uporablja zanko za ustvarjanje zaporednih vrednosti xn.


Številčne kartice

Lepo razpravljanje o “štetju kart” za Blackjack je podano v tem članku v Wikipediji.


Obiščite spletno stran avtorja Jeff Moehlis. Prav tako si oglejte njegovo glasbeno spletno stran music-illuminati.com.

 

Vir: https://me.ucsb.edu/~moehlis/21.html

Vzporedno programiranje z MPI

z
Peter Pacheco


Vzporedno programiranje z MPI je osnovni uvod v programiranje vzporednih sistemov, ki uporabljajo knjižnico razširitev MPI 1 C in Fortran. Namenjen je za uporabo študentov in strokovnjakov z nekaj znanja o programiranju konvencionalnih, enoprocesorskih sistemov, vendar imajo malo ali nič izkušenj pri programiranju večprocesnih sistemov. To je obsežna revizija in širitev Uporabniški priročnik za MPI.

Kazalo.

Predgovor.

Informacije o pridobitvi kopije knjige lahko dobite pri založbi Morgan Kaufmann Publishers Inc.

Izvorno kodo lahko prenesete za vse programe v knjigi. Koda je na voljo v C (posodobljeno 2000/01/23) ali Fortran (posodobljeno 2000/08/23). Te datoteke so bile ustvarjene s tarifo komunalnih storitev Unix in stiskanjem. Če imate težave z razpakiranjem, lahko najdete nekaj pomoči tukaj.

Errata (posodobljeno 2002/10/16) in opombe (posodobljeno 2008/06/01) bodo objavljene na spletu takoj, ko bodo na voljo.

Izvajanje MPI

Obstaja več prosto razpoložljivih implementacij MPI, ki delujejo na različnih platformah:

Več o MPI

Dodatne informacije o MPI so na voljo iz različnih virov. Standard MPI 1.1 je na voljo v postscriptu, stisnjenem postscriptu, PDF-ju in html-ju.

Spletna stran MPI foruma ima povezave do vseh dokumentov MPI, napak in arhivov sestankov foruma.

Obstaja spletna stran, posvečena MPI v Argonne National Lab.

Spletna stran Beowulf in poštni seznam je še en dober vir informacij o MPI.

Če imate vprašanja o MPI, na katere ni odgovorjeno nobeno od teh spletnih mest, lahko poskusite objaviti svoje vprašanje v novičarski skupini MPI.

Obstaja tudi nekaj drugih knjig, posvečenih v celoti ali delno MPI:

MPI-2

Dokumenti MPI-2 so na voljo na spletni strani MPI Foruma. Ti dokumenti so na voljo v postscriptu, stisnjenem postscriptu in html-ju. Obstaja spremljevalni obseg uporabe MPI, Uporaba MPI-2, William Gropp, Ewing Lusk in Rajeev Thakur. Obstaja tudi drugi obseg MPI: Popolna referenca, William Gropp, Steven Huss-Lederman, Andrew Lumsdaine, Ewing Lusk, Bill Nitzberg, William Saphir in Marc Snir. To je namenjeno MPI-2.

C + +

Če želite uporabiti MPI z objektno orientiranim jezikom, ima poročilo MPI-2 vezave za C + +, čeprav so zdaj zastarele.

 

Tu lahko najdete izvirno objavo v angleščini: http://www.cs.usfca.edu/~peter/ppmpi/

Analiza komutativnosti

Povzetek

 

Vzporedni stroji ponujajo obljubo o znatnem povečanju zmogljivosti, saj omogočajo več procesorjev hkrati izvajati različne dele računanja. Programatorji so tradicionalno razvili aplikacije za vzporedne stroje, ki uporabljajo eksplicitno vzporedne jezike. Za razliko od serijskih programskih jezikov, eksplicitno vzporedni jeziki predstavljajo kompleksen programski model, za katerega so značilni takšni pojavi kot zastoj, nedeterministična izvedba in na strojih, ki prenašajo sporočila, potrebo po neposrednem upravljanju gibanja podatkov z računanjem. Očitne prednosti programiranja sekvenčne imperativnega programskega paradigma so zato navdihnile razvoj analiznih tehnik in prevajalnikov, ki so avtomatično vzporedni s serijskimi programi.

Tekoči vzporedni prevajalniki ohranjajo semantiko izvirnega serijskega programa, tako da ohranijo podatkovne odvisnosti. Ti prevajalniki poskušajo identificirati neodvisne dele računanja (dva dela računanja sta neodvisni, če ne piše podatkov, ki jih drugi dostopa), nato pa ustvarjajo kodo, ki hkrati izvaja neodvisne elemente. Pomembna omejitev tega pristopa je težava opravljanja analize odvisnosti, ki je dovolj natančna, da razkrije znatne količine vzporednosti. Medtem ko so raziskovalci lahko razvili razumno učinkovite algoritme za zanke, ki manipulirajo z gostimi matricami z uporabo afinitetnih funkcij dostopa, je bil dosežen majhen napredek pri uspešni avtomatični analizi programov, ki manipulirajo na podatkovnih strukturah, ki temeljijo na kazalcu. Raziskovalci so poskušali zgraditi popolnoma avtomatske sisteme, vendar najbolj obetavni pristopi zahtevajo od programerja, da zagotovi opombe, ki določajo informacije o globalni topologiji manipuliranih podatkovnih struktur. Druga, bolj temeljna omejitev pristopov, ki temeljijo na podatkih, je nesposobnost, da se izračuni, ki manipulirajo z grafičnimi strukturami podatkov, paralelirajo. Pomenki, ki so prisotni v teh podatkovnih strukturah, onemogočajo statično odkritje neodvisnih kosov kode, s čimer se prevajalnik generira serijska koda. Nazadnje, ohranjanje podatkovnih odvisnosti za programe, ki redno posodabljajo strukture podatkov v skupni rabi, lahko umetno omejijo količino izpostavljene vzporednosti, ker naloge morajo odložiti posodobitve, dokler niso prepričani, da vsaka posodobitev ne bo spremenila relativnega reda bral in zapisala v podatkovno strukturo v skupni rabi .

Analiza komutativnosti je okvir statične analize za odkrivanje komutacijskih operacij. Dve operaciji premikata, ko ustvarjajo enake rezultate, ne glede na vrstni red, v katerem jih izvajajo. Analiza komutativnosti odpravlja številne omejitve obstoječih pristopov, ki temeljijo na podatkih. Namesto ohranjanja relativnega reda posameznih branij in zapisov na posamezne besede pomnilnika, analiza komutativnosti agregira podatke in računanje v velike enote zrn. Nato statično analizira izračun na tej granularnosti, da odkrije, kdaj se deli računanja premikajo, tj. Ustvarjajo enake rezultate, ne glede na vrstni red, v katerem jih izvajajo. Če so vsi postopki, potrebni za izvedbo določenega računanja, prevajalnik samodejno ustvari vzporedno kodo. Medtem ko vzporedni program, ki je posledica tega, lahko krši podatkovne odvisnosti prvotnega serijskega programa, še vedno zagotavlja enak rezultat.

Ta pristop ima več zanimivih lastnosti. Ker se analiza komutativnosti ne zanaša na informacije o topologiji manipuliranih podatkovnih struktur, prevajalnik, ki uporablja analizo komutativnosti, ni treba analizirati delov kode, ki gradijo podatkovno strukturo. Analiza komutativnosti je zato primerna za nepopolne izračune, kot so aplikacije, ki manipulirajo s trajnimi podatki (npr. Objektno usmerjene aplikacije baz podatkov) ali aplikacije, ki manipulirajo z geografsko razpršenimi podatki (npr. Mobilne izračune v svetovnem spletu). V teh primerih koda, ki je prvotno zgradila podatkovno strukturo, morda ni na voljo ali morda ne bo več. Analiza komutativnosti je še posebej primerna za izračune, ki manipulirajo z grafi. To je pomemben vidik analize komutativnosti, saj so izračuni, ki manipulirajo s temi podatkovnimi strukturami, sami po dosegu analize podatkovne odvisnosti.

Vzeli smo sistemsko usmerjen pristop, ki je ocenil sposobnost analize komutativnosti, da bi v celoti izkoristil in izkoristil znatne količine vzporednosti v celotnih aplikacijah. Izdelali smo vzporedni prevajalnik, ki uporablja analizo komutativnosti kot svojo glavno paradigmo analize. Ta prevajalnik ima kot vhod neenotiran zaporedni program, zapisan v podmnožici C + + in generira vzporedno kodo za multiprocesor v skupni pomnilnik. S pomočjo tega vzporednega prevajalnika samodejno vzporedimo več aplikacij, vključno s kodo za reševanje Barnes-Hut N-body, simulacijsko kodo za tekočo vodo in seizmično modelno kodo. Pri vseh teh aplikacijah, analiza komutativnosti lahko razkrije znatno količino vzporednosti in ustvarjena vzporedna koda kaže zelo dobre rezultate. Na 16 procesorjih samodejno vzporedna različica Barnes-Hut teče med 11 in 12-krat hitrejšo od prvotne zaporedne različice; za aplikacijo za simulacijo vode samodejno vzporedna različica poteka med 7 in 8-krat hitrejšo od prvotne zaporedne različice; za aplikacijo seizmičnega modeliranja samodejno vzporedna različica poteka približno 12-krat hitrejša od prvotne zaporedne različice.

Ti poskusni rezultati so zelo spodbudni. Te aplikacije so zelo dinamične narave – bodisi manipulirajo s sofisticiranimi podatkovnimi strukturami na kazalniku ali kažejo zelo nepravilne vzorce dostopa do podatkov. Izkoriščanje grobega paralelizma v aplikacijah s temi značilnostmi je bilo prepoznano kot zelo težka težava. Ne poznamo nobene druge metode prevajanja ali kompilacije, ki bi lahko izrabila znatne količine vzporednosti za te izračune. Poleg tega pozitivni eksperimentalni rezultati vsebujejo konkretne dokaze o praktičnem pomenu analize komutativnosti kot tehnike za avtomatske vzporedne prevajalce.

 


Sorodne publikacije

 

Original: https://www.isi.edu/~pedro/CA/commutativity.html

Zgodovinsko začetno

To je lepo, zgodovinsko začetno pismo z začetka pesmi pesmi v latinskem Bibliju v 12. stoletju. Sveto pismo je zdaj v knjižnici katedrale Winchester.

Latinsko besedilo, ki spremlja začetno, je v tem obdobju precej standardno.

Eksplicitno lib (er) qui vocat Ecclesiastes. Tu se konča knjiga, ki jo je imenoval Ecclesiastes.
Vključi (it) lib (er) qui appellatur hebraice Syr asyrim, latinsko Cantica Canticorum. Tu se začne knjiga, ki se imenuje v hebrejščini “Shir hashirim”, v latinščini “Pesmi pesmi”.
Vox ecclesi(a)e desiderantis adventum Chri(sti). Glas cerkve, ko hrepeni po prihodu Kristusa.

Osvetlitev je naslikana v zlati “O” v sorazmerno subtilnih barvah in v slogu, podobnem svetlim slikam srednjega veka v Evropi. Beseda “osvetlitev” v tem kontekstu se nanaša na način, kako slika osvetli stran.

V srednjem veku se uporabljajo številne razlicne vrste osvetljevanj, ki zgodovino odpirajo pismo Pesmi. Ta primer pripada veliki skupini, v kateri sta Kristus in Cerkev zastopana skupaj, ne da bi se sprejeli ali poljubili. To je sklicevanje na skupno interpretacijo pesmi, v kateri sta oba ljubitelja razumeta, da predstavljata Kristusa in njegovo nevesto, Cerkev.

Upoštevajte, da sta oba moška in ženska kronirana in ustoličena, in vsak pogled na drugega. Kralj ima fosilni žezlo, kraljica pa ima listnat okras.

Osvetlitev je na foliji 270. Številka tega osvetlitve v indeksu krščanske umetnosti Princeton University je 32 / W7 / LC1.C.270B.

Znamenitosti in zvoki pesmi pesmi

 

Odvzet od : http://ccat.sas.upenn.edu/~jtreat/song/270.html

uWave: Priznavanje gibov na podlagi pospeška

uWave je prepoznavnik gesta, ki temelji na 3-D merilniku pospeška. To je bil projekt Rice Efficient Computing Group (RECG) univerze Rice v sodelovanju z Motorola Labs v 2007/08. Ko sem bila študentka na Univerzi Rice, sem postala raziskovalna asistentka skupine in prevzela vodenje projekta uWave. Hidden Markov modelu (HMM), ki je bil priljubljen v govoru, in nekaj gestnih priznanj nismo uporabili, saj zahteva veliko število vzorcev usposabljanja, kar pogosto povzroča neprijetnosti v interakciji med človekom in računalnikom. Na prepoznavniku sta bila uporabljena algoritem dinamičnega časovnega upora (DTW) in prilagajanje predloge. Točnost doseže 98,6% in zahteva samo en vzorec usposabljanja. Prav tako omogoča uporabnikom, da uporabijo prilagojene poteze. Bil sem odgovoren za načrtovanje in razvoj algoritma DTW na prepoznavniku gesta in delu študije uporabnikov o testiranju in izboljšavi natančnosti.

Članki konference in časopisov

  • Jiayang Liu, Lin Zhong, Jehan Wickramasuriya in Venu Vasudevan, “uWave: osebno prepoznavanje kretnice na osnovi pospeška in njene aplikacije” v Pervasive and Mobile Computing, vol. 5, številka 6, str. 657-675, december 2009. (Link)
  • Jiayang Liu, Lin Zhong, Jehan Wickramasuriya in Venu Vasudevan, “Uporabniška ocena lahkih uporabniških avtentikacij z enim triosnim merilcem pospeška” v Proc. ACM Int. Conf. Interakcija človekovega računalnika z mobilnimi napravami in storitvami (MobileHCI), september 2009. (PDF)
  • Jiayang Liu, Zhen Wang, Lin Zhong, Jehan Wickramasuriya in Venu Vasudevan, “UWave: personalizirano prepoznavanje kretnic na podlagi pospeška in njene aplikacije” v IEEE Int. Conf. Pervasive Computing in komunikacija (PerCom), marec 2009. (PDF, Demo) (nagrada za najboljšo knjigo)

Razširjeno povzetek in tehnično poročilo

  • Jiayang Liu, Zhen Wang, Lin Zhong, Jehan Wickramasuriya in Venu Vasudevan, “UWave: personalizirano prepoznavanje kosti na podlagi pospeška-merila”, razširjeni povzetek za simpozij ACM za programsko opremo in tehnologijo uporabniških vmesnikov (UIST), oktober 2008. (PDF, Demo)
  • Jiayang Liu *, Zhen Wang *, Lin Zhong, Jehan Wickramasuriya in Venu Vasudevan, “uWave: osebno prepoznavanje kretnice na podlagi pospeška,” Tehnično poročilo TR0630-08, Univerza Rice in Motorola Labs, junij 2008. (PDF) (* Enako prispevek)

Knjižnica s kretnjami

Podatki o pospeševanju 4480 vzorcev gesta se zberejo od osmih udeležencev sedem dni. Več podrobnosti najdete v naši PerCom papir.
Readme za avtorske pravice in licenco ter organizacija knjižnice.
Prenesite knjižnico tukaj.

Izvorna koda z njimi povezanih aplikacij
Readme za avtorske pravice in licenco.

  • uWave on Mac – program na Mac zbira podatke iz daljinskega upravljalnika Wii in omogoča prepoznavanje kretenj. Nato pošlje rezultat v vrata TCP, tako da lahko katera koli aplikacija, ki uporablja prepoznavanje gesta, posluša vrata in reagira.
  • Moto Q Media Player – uWave lahko uporabite za nadzor predvajalnika medija na Moto Q.
  • Moto Q 3D Tvlicious – 3D vmesnik za Tvlicious na Moto Q.

Zgoraj 3 aplikacije pokličete uWave.h in uWave.c

Demo Video v YouTubu

Predstavitev si lahko ogledate tudi na YouTubu: http://www.youtube.com/watch?v=rrZfLAfeZww

 

 

Za izvirno angleško besedilo pojdite na: http://www.ruf.rice.edu/~mobile/project_uwave.html

 

 

 

Uvod v matematično programiranje

z
Russell C. Walker

 

 

 

 

To besedilo je mehko kritje, spiralno vezana, prilagojena objavljena različica besedila s trdim pokrovom istega imena. To ali njegov predhodnik s trdimi platnicami je bilo že več kot 10 let v programu Business Administration v Carnegie Mellon. To je edino besedilo za modele in metode optimizacije in eno od besedil za multivariatno analizo.

V različici po meri je prišlo do več izboljšav, ki je zdaj v tretji izdaji:

  • Dva odseka o matrični razlagi simbolnega algoritma sta dodana. Ti vodijo do večjega razumevanja algoritma simpleksa in zmožnosti dodajanja spremenljivke linearnemu programu, če je znana optimalna tabela, ne da bi morali ponovno rešiti težavo.
  • Dodan je razdelek o numeričnem iskanju maksimuma.
  • Vaje so bile dodane.
  • Dodana je bila prilagoditev transportnega modela za rešitev problema pretovarjanja.
  • Dodana je bila razprava o alternativnih omejitvah z aplikacijo za zaporedje delovnih mest.
  • Dodatek o uporabi Solverja v Excelu je nadomestil tisti, ki je na grafičnih kalkulatorjih.
  • Napake so bile odpravljene in izboljšanje oblikovanja.
  • Dodatek z rešitvami čudnih težav je končan.
  • Dodatek, ki vsebuje rešitve za celo število oštevilčenih problemov, in študije primerov iz poglavja 10, je zaključen in je na voljo od avtorja kot datoteko s 125 strani pdf.

Besedilo lahko naročite tako, da se obrnete na avtorja: rw1k AT andrew DOT cmu DOT edu ali Amazon.

 

Kazalo vsebine in povzetki poglavja:

Poglavje 1: Uvod v težave
Oddelek 1.1 Uvod str. 1
Oddelek 1.2 Vrste težav, ki jih je treba upoštevati str. 3
Oddelek 1.3 Problemi z vzorcem str. 6
Oddelek 1.4 Grafična rešitev linearnih programov str. 17
Oddelek 1.5 Povzetek in cilji str. 26
V prvem poglavju je podana raziskava vrst problemov, ki jih je treba obravnavati, da bi označili možne aplikacije.
V nekaterih primerih je naveden prispevek rešitve k organizaciji, da se poudari pomen teh spretnosti. Problemi vzorca v tretjem delu kažejo linearno strukturo, ki je vključena v večino modelov, ki jih obravnavamo, in vprašanja, povezana z modelno formulacijo. Zaključni razdelek predstavlja grafični pristop k reševanju dveh spremenljivih linearnih programov.
Poglavje 2: Vektorji in matrike
Oddelek 2.1 Uvod str. 28
Oddelek 2.2 Vektorji str. 29
Oddelek 2.3 Razpon množice vektorjev str. 34
Oddelek 2.4 Matrike str. 38
Oddelek 2.5 Linearna neodvisnost str. 48
Oddelek 2.6 Sistemi enačb str. 54
Oddelek 2.7 Inverzna matrika str. 68
Oddelek 2.8 Povzetek in cilji str. 77
To poglavje razvija matrično algebro, potrebno za obravnavo linearnih problemov.
Razdelek 2.5 je pomemben, saj obstaja linearno neodvisen niz vektorjev, ki ustrezajo vsaki osnovni raztopini v simpleksnem algoritmu. Razprava o linearni neodvisnosti vključuje nekatere principe osnovnega matematičnega sklepanja, ki jih mora razumeti vsak študent, ki je študiral matematiko. Te ideje se nato uporabijo pri dokazovanju predlogov glede linearne neodvisnosti.
Razdelek o sistemih enačb je pomemben, ker so uporabljene vrste vrstic enake tistim, ki so kasneje potrebne v algoritmu simpleksa.
Matrični inverzi so razpravljeni, vendar so potrebni le v vajah oddelka 3.3 in v oddelkih 4.4 in 4.5.
Poglavje 3 Linearno programiranje
Oddelek 3.1 Uvod str. 81
Oddelek 3.2 Spremenljive spremenljivke str. 83
Oddelek 3.3 Simbolni algoritem str. 89
Oddelek 3.4 Osnovne izvedljive rešitve in ekstremne točke str. 101
Oddelek 3.5 Primeri priprave str. 112
Oddelek 3.6 Splošne omejitve in spremenljivke str. 128
Oddelek 3.9 Povzetek in cilji str. 142
Osrednja tema v besedilu je linearno programiranje.
Razdelki 3.2 in 3.3 razvita simpleksni algoritem.
V razdelku 3.4 ugotovimo, da je algoritem simpleksa pravilen.
Razdelek 3.5 obravnava oblikovanje problemov in je posebej pomemben za tiste, ki jih najbolj spodbujajo aplikacije.
Oddelek 3.6 razširja simpleksni algoritem na težave z nestandardnimi omejitvami ali nepodpisanimi spremenljivkami.
Poglavje 4 Duality and Post Optimal Analysis
Oddelek 4.1 Uvod str. 144
Oddelek 4.2 Dvotirni in zmanjśajni problemi str. 1445
Oddelek 4.3 Analiza občutljivosti str. 166
Oddelek 4.4 Nastavitev matrike za simpleksni algoritem str. 186
Oddelek 4.5 Dodajanje spremenljivke str. 192
Oddelek 4.6 Povzetek in cilji str. 198
Razdelek 4.2 obravnava rešitev problemov zmanjševanja z uporabo povezanega problema dvojnega povečanja. Moč linearnega programiranja kot vodstvenega orodja je prikazan v primeru, ki pomaga motivirati razpravo o analizi občutljivosti v oddelku 4.3. Razdelek 4.4 podrobneje obravnava linearno algebro, vključeno v simpleksni algoritem, v oddelku 4.5 pa se uporablja linearna algebra, da se pokaže, da se spremenljivki lahko dodajo v rešeni linearni program, ne da bi ga bilo treba ponovno rešiti.
Poglavje 5 Omrežni modeli
Oddelek 5.1 Uvod str. 200
Oddelek 5.2 Problem transporta str. 206
Oddelek 5.3 Metoda kritične poti str. 231
Oddelek 5.4 Najkrajši modeli poti str. 254
Oddelek 5.5 Minimalna drevesa str. 261
Oddelek 5.6 Največji tok p. 276
Oddelek 5.7 Povzetek in cilji str. 284
Poglavje 5 obravnava šest težav v omrežju: problem prevoza, težave s pretovarjanjem, metoda kritične poti, najkrajša pot problemov, minimalna drevesa in največji pretok. Vzorci modelov v podjetju LINGO in LINDO so na voljo. Razprave o najkrajših poteh in minimalnih vpetih drevesih zahtevajo nekaj uvoda v teorijo grafov. Učinkovitost in pravilnost algoritma sta tudi uvedena in upoštevana pri minimalnih algoritmih za razširjanje dreves.
Poglavje 6 Neomejena ekstrema
Oddelek 6.1 Uvod str. 287
Oddelek 6.2 Iskanje ekstremov str. 288
Oddelek 6.3 Model velikosti serije in konveksnost str. 294
Oddelek 6.4 Lokacija ekstremov v dveh spremenljivkah str. 307
Oddelek 6.5 Približevanje najmanjših kvadratov str. 317
Oddelek 6.6 Primer n-spremenljivke str. 323
Oddelek 6.7 Numerično iskanje str. 329
Oddelek 6.8 Povzetek in cilji str. 337
V tem poglavju razpravljamo o klasičnih tehnikah optimizacije. Potrebno je nekaj znanja o diferencialnem računu. Konveksnost se razpravlja v povezavi s problemom količine gospodarskega reda in upravljanjem zalog. Oddelek je namenjen za namestitev krivulje najmanjših kvadratov. Obstaja razprava o teoriji, na kateri temelji optimizacija, in tudi uvod v uporabo Maple za reševanje problemov optimizacije. Uvedene so tudi numerične tehnike iskanja.
Poglavje 7 Omejeno Extrema
Oddelek 7.1 Uvod str. 339
Oddelek 7.2 Dve spremenljivi problemi str. 346
Oddelek 7.3 Več spremenljivk; več omejitev str. 352
Oddelek 7.4 Težave z omejitvami neenakosti str. 362
Oddelek 7.5 Problem s konveksnim programiranjem str. 372
Oddelek 7.6 Ponovno pregledano linearno programiranje str. 389
Oddelek 7.7 Povzetek in cilji str. 392
To poglavje razširja razpravo, ki se je začela v prejšnjem, na težave, pri katerih je rešitev podvržena omejitvam. Ključna izreka je izrek Karuš-Kuhn-Tuckerja za reševanje konveksnih problemov. Glavne predstavljene aplikacije so zmanjšanje stroškov kartonske škatle, maksimiranje uporabnosti, zmanjšanje stroškov zamenjave opreme in izbiro naložbenega portfelja, da se doseže sprejemljiv donos z minimalnim tveganjem. Poglavje se zaključi s pogledom na linearno programiranje kot poseben primer konveksnega programiranja.
Poglavje 8 Celotno programiranje
Oddelek 8.1 Uvod str. 394
Oddelek 8.2 Problem s hitrostjo str. 397
Oddelek 8.3 Dvostopenjski algoritem str. 406
Oddelek 8.4 Dodajanje omejitve str. 415
Oddelek 8.5 Podružnica in povezana za celo število programov: str. 422
Oddelek 8.6 Modeli programiranja osnovnih celih številk str. 429
Oddelek 8.7 Problem prodajalca potnika str. 452
Oddelek 8.8 Povzetek in cilji str. 466
Algoritmi, povezani s podružnicami, so osrednjega pomena za to temo. Najprej se šteje, da je problem hackback-a predstavljen z vejico in vezano metodo.
Dvojni simpleksni algoritem je nato razpravljal in nato uporabljen za ponovno optimizacijo rešenega problema, potem ko je bila dodana omejitev. Nato je osnova pristopa, ki je povezana z vejstvom in reševanjem integriranih programov.
Nato se razpravlja o različnih modelih celostnega programiranja, poglavje pa se zaključi s pristopom k veščini potujočega prodajalca.
Poglavje 9 Uvod v dinamično programiranje
Oddelek 9.1 Uvod v rekurzijo str. 468
Oddelek 9.2 Najdaljša pot str. 476
Oddelek 9.3 Problem transporta fiksnih stroškov str. 479
Oddelek 9.4 Več primerov str. 484
Oddelek 9.5 Povzetek in cilji str. 491
Težave, za katere je rešitev mogoče doseči z zaporedjem neodvisnih odločitev, se pogosto lahko reši z dinamičnim programiranjem. Dinamično programiranje zahteva uvod v rekurzijo. To vodi do kratkega izleta skozi stolpe Hanoja, številke Fibonacci in binomsko širitev. Razpravljali o aplikacijah so najdaljša težava, ki je podobna določanju najzgodnejših časov v modelu CPM, problemu s fiksnimi stroški in problemu nalaganja tovora. Prav tako se vrnemo k problemu potujočega prodajalca in preiskujemo računalniški izziv tega problema.
Poglavje 10 Študije primerov
Oddelek 10.1 Pripomoček Pripomoček Pripomoček str. 494
Oddelek 10.2 Možnost prodaje pohištva str. 501
Oddelek 10.3 Garderobne omare za zgradbo str. 502
Oddelek 10.4 Kmetija McIntire str. 503
Oddelek 10.5 Valji za pijače str. 504
Oddelek 10.6 Knjige na počitnicah str. 506
Oddelek 10.7 V slepo zaupanje str. 508
Oddelek 10.8 Davki Maxovi str. 509
Oddelek 10.9 Oskrba z omrežjem str. 510
Poglavje 10 predstavlja nekaj več odprtih problemov, primernih za daljše naloge in skupinske projekte. Rešitve primerov in predlogov za njihovo uporabo v razredih so na voljo avtorjem v priročniku za rešitve.

Metode, potrebne za njihovo rešitev, so linearno programiranje, celovito programiranje, kritično upravljanje poti in nelinearna optimizacija.

Dodatek Kratek uvod v LINDO in LINGO
Oddelek A.1 LINDO p. 512
Oddelek A.2 LINGO p. 516
Program LINDO je izjemno uporaben pri reševanju linearnih programov, vključno s tistimi z integriranimi omejitvami. Primeri uporabe so predstavljeni skupaj z uporabo osnovnih ukazov.
LINGO je povezan paket, ki omogoča reševanje nelinearnih problemov. Kot jezik modeliranja je LINGO še posebej uporaben za njegovo sposobnost učinkovito izražanja težav s ponavljajočimi se omejitvami.
Dodatek B A Kratek uvod v Maple
Oddelek B.1 Osnove str. 521
Oddelek B, 2 Uporaba paketov str. 525
Simbolična računalniška programska oprema Maple je lahko zelo uporabna, zlasti pri reševanju klasičnih problemov optimizacije, kot so predstavljene v poglavjih 5 in 6, kot tudi pri izračunih matrik, prilagajanju krivulj, reševanju linearnih programov in reševanju mrežnih modelov.
Dodatek C Uporaba programa Excel Solver
Oddelek C.1 Osnovni primer str. 533
Oddelek C.2 Dva primera omrežja str. 539
Oddelek C.3 Dva nelinearna primera str. 543
Preglednica Excel vključuje dodatek Solver, ki je izjemno uporaben pri linearnih težavah z optimizacijo. Zagotavlja se kratek uvod v Solver z nekaj primeri njegove uporabe.
Dodatek D Izbrani odgovori in nasveti str. 546 Tukaj so navedeni odgovori na vse lahke probleme. Rešitve za celo oštevilčene težave so na voljo pri avtorju v datoteki pdf.

Literatura str. 585

Indeks str. 588

 

Izvirni članek: http://www.math.cmu.edu/~rw1k/rw1k_extra/thrdbook.html