Matematika filma “21”

Jeff Moehlis

Film “21” je zgodba o študentih MIT-a, ki “štejejo karte”, da bi izboljšali svojo verjetnost, da bodo v igralnicah dobili karto Blackjack. Ni presenetljivo, da ima ta film veliko matematike. Najbolj očitna je “štetje kart”, ki temelji na tehnikah, objavljenih v knjigi Edward O. Thorpe iz leta 1962 “Beat the Dealer”. Razprave o metodi in matematiki “štetje kart” so opisane na različnih drugih spletnih straneh. Na tej spletni strani se lahko seznanite z drugimi matematičnimi idejami, ki se pojavijo v filmu. Upam, da bo to povečalo vaše užitek v filmu in morda vas bo naučilo nekaj matematike!


Serija Fibonacci

V “21”, ko Ben Campbell (ki ga igra Jim Sturgess) praznuje svoj rojstni dan, torta pravi
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

To so prvi izrazi v seriji Fibonacci, ki je bil uporabljen kot primer v knjigi Liber Abaci, ki jo je leta 1202 izdal Leonardo Fibonacci. To dobite tako, da najprej napišete številke “0, 1“, nato pa vsako nadaljnjo številko določite kot vsoto prejšnjih dveh številk v seriji. Tako je tretja številka v seriji 1 = 1 + 0, četrta številka je 2 = 1 + 1, peta številka je 3 = 2 + 1 itd. Naslednja številka na torti bi bila 21 = 13 + 8 , za Benov 21. rojstni dan. Pameten, kaj? (Hmmm, ali se “21” nanaša na Blackjack ali Benovo starost?) Ben bo moral počakati, da bo njegov naslednji “rojstni dan Fibonacci” 34 = 21 + 13.

Drugo serijo Fibonacci lahko definirate tako, da določite različne številke v prvih dveh režah. Na primer, serija Fibonacci, ki se začne z “2, 5“, je

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, …


Problem Monty Halla

Upoštevajte naslednjo različico zadnjega kroga klasične TV show show Let’s Make a Deal:

Obstajajo trije vrati, za eno od njih pa je avto, za drugim pa koze. Če izberete vrata z avto za njim, si zaslužite avto. Sedaj, pravite, da izberete vrata 1. Gostiteljica Monty Hall nato odpre bodisi vrata 2 ali vrata 3, za katerimi je koza. (Ve, kaj je za vsakim vratom in nikoli ne odpira vrat z avtomobilom za njim.) Monty vam zdaj daje izbiro: ali želite držati vrata 1 ali preklopiti na druga vrata. Kaj morate storiti? Ali je to pomembno?

Podobno vprašanje je postavil Ben Campbell (ki ga je igrala Jim Sturgess) profesorja Micky Rosa (ki jo igra Kevin Spacey) v filmu “21”. Brez obotavljanja Ben to pravilno odgovarja, kar prepriča profesorja Rose, da bi Ben dober dodatek k njihovi “kartični ekipi”. Pred branjem, poskusite odgovoriti sami.

Eno od teh težav rešuje s primerjavo verjetnosti izbire avtomobila, če se z vašo prvotno izbiro držite verjetnosti, da boste izbrali avto, če boste preklopili, ko bo Monty odprl vrata. Upoštevajte, da ima avto enako verjetnost 1/3, da je za vratom 1, vrata 2 ali vrata 3.

Prvič, predpostavimo, da se vaša strategija drži prvotne izbire vrat 1. Potem ste zmagali samo, če je avto za vratom 1, tako da je vaša verjetnost zmage 1/3.

Dalje, predpostavimo, da je vaša strategija zamenjati vrata. To razkrijemo v tri primere:

  • Če je avto za vratom 1, bo Monty odprl vrata 2 ali vrata 3, da bi odkril kozo. Preklopite na drugo vrata 2 ali vrata 3, v vsakem primeru pa ste preklopili na vrata s kozo za njim (ne pozabite, avto je za vratom 1).
  • Če je avto za vratom 2, bo Monty odprl vrata 3. To je zato, ker vedno odpira vrata s kozo za njim in ne more odpreti vrata 1, ker je bila to vaša prvotna izbira. Torej, edina vrata, na katera lahko preidete, je vrata 2, ki so vrata z avtom. Ding! Zmagal si!
  • Če je avto za vratom 3, bo Monty odprl vrata 2. To je zato, ker vedno odpira vrata s kozo za njim in ne more odpreti vrata 1, ker je bila to vaša prvotna izbira. Torej, edina vrata, na katera lahko preidete, je vrata 3, ki so spet vrata z avto za njim. Ding! Zmagal si!

Torej, če vaša strategija zamenja vrata, dobiš 2/3 = 1/3 + 1/3 časa. (Ne pozabite, da je verjetnost 1/3, da je avto za vsakim posebnim vratom.) Zato je boljša strategija, da preklopite vrata – izračunane verjetnosti kažejo, da ste dvakrat verjetneje zmagali, če to storite! Benov pravilen odgovor v filmu “21” pomeni, da je dober človek za “štetje kartic”. Ne samo, da kaže, da je pameten, ampak tudi dokazuje, da se zaveda, da je najbolje iti z izbiro, ki povečuje vašo verjetnost zmage. To spoznanje je bistveno za uspeh “štetja kart” za Blackjack.

Leta 1990 se je podobno vprašanje pojavilo v pismu Marilyn vos Savantovemu kolu Ask Marilyn v paradi (ki prihaja v nekaterih nedeljskih časopisih). Marilyn je dal pravilen odgovor, a mnogi bralci (vključno z profesorji matematike) so menili, da je to napačno. Torej se ne počutite preveč slabo, če ste se motili, ko ste sami odgovorili. Zdaj pa veš!


Metoda Newton-Raphson

Iz razreda algebre lahko recite, da so rešitve enačbe

so podane s kvadratno formulo

Predpostavimo, da želite najti vrednost za x, ki rešuje splošno algebrsko enačbo

f(x) = 0.

Takšna vrednost za x se imenuje koren f (x). Razen pri posebnih izbirah f (x), kot je f (x) = a x2 + b x + c kot zgoraj, ne moremo najti korenin z uporabo algebraičnih operacij.

V filmu “21” profesor Micky Rosa (ki ga igra Kevin Spacey) predava metodo Newton-Raphson za iskanje korenin f (x). To so neodvisno razvili Isaac Newton in Joseph Raphson v 1600-ih. Zamisel je, da naredimo ugibanje korenine enačbe (karkoli jo imenujemo x0), potem pa uporabite to ugibanje, da ustvarite vrednost za x (pokličimo jo x1), ki je (upajmo) še bližje korenu od prvotne ugibati. To naredimo s črpanjem tangentne črte na funkcijo f (x) pri x = x0 in pri čemer x1 kot vrednost za x, pri kateri ta ravna črta poteka skozi nič. (Za tiste, ki poznate račun, boste prepoznali, da je to tangento črto določen z izpeljankom f (x).) S ponovnim postopkom ponovnega preizkusa, da bi ustvarili x2, x3, itd, dobimo (upajmo) vrednosti, ki so boljši in boljši približki korenu. Vedno sem rekel “upajmo”, ker metoda Newton-Raphson ni vedno uspešna, čeprav je verjetneje, če boste dobro začeli uganiti. Ta slika ponazarja metodo:

Ta metoda je bila razvita precej, preden so računalniki obstajali, vendar se izkaže za idealno za izvedbo na računalniku: ena uporablja zanko za ustvarjanje zaporednih vrednosti xn.


Številčne kartice

Lepo razpravljanje o “štetju kart” za Blackjack je podano v tem članku v Wikipediji.


Obiščite spletno stran avtorja Jeff Moehlis. Prav tako si oglejte njegovo glasbeno spletno stran music-illuminati.com.

 

Vir: https://me.ucsb.edu/~moehlis/21.html