Samopreskočna sfera

Premostnost potopitve s zaprto površino M v R4 je par točk (p, q), tako da s (p) ni enak s (q), segment segmentov, ki je narisan s s (p) in s ( q) leži v tangentni ravnini s pri p in tangentni ravnini s pri q. Za površino v štirih prostorih pričakujemo končno število bitangentnosti.

Slike so projekcije potopitve krogle v štirih prostorih, ki jih prikazuje zemljevid:

(x, y, z) -> (x, y, x2 + xz, yz)

kjer je x2 + y2 + z2 = 1. Na teh slikah smo napovedali prvo os.

To potopitev se točno sam seka, namreč kadar je (x, y, z) (0, 0, 1) in (0, 0, -1). Barvna površina je sorazmerna z vrednostjo x (tj. Višine površine v prvi smeri osi), tako da lahko rečete, da obstaja dvojna točka vzdolž srednje dvojne krivulje (ta krivulja je dejansko pokrita štirikrat, kot to lahko povežemo z vezano sliko). Ta površina ima tudi štiri bitangence, od katerih sta dve črni črti, od katerih sta dve dvojni kraki, na obeh koncih srednje dvojne krivulje.

Eno izmed vprašanj, ki ga lahko vprašamo, je razmerje med bitangentnostjo površine v štirih prostorih in bitangencami njegove projekcije v tri prostorije. Kakršna koli prepletenost v štirih prostorih mora biti prožna v treh prostorih in bo vključena v dvodimenzionalni niz bitangencnosti. Da bi ugotovili, ali je par točk (p, q) bitangentnost površine v štirih prostorih, moramo projicirati površino navzdol dveh vektorjev, tako da je ravnina, ki je prepletena s tema dvema vektorjema, prečna na tangentne ravnine na p in q. Če sta obe projicirani površini oba imenovani bitangencies enako p in q, potem je (p, q) premostitev površine v štirih prostorih. Poleg tega, če imamo dovolj sreče, da razčlenimo sekantno črto bitangentnosti, se ena od tangentnih smeri na vsaki točki zruši, na ploskvi pa bodo na obeh p in na točkovnih točkah. Poleg tega se bodo te točke ščetina pojavile na isti točki v treh prostorih. Če torej naša projicirana površina na istem mestu ima dve zatiči, potem je ustrezen par točk precepljen. V tem primeru potrebujemo samo eno projekcijo, da bi našli precepljivost. Naša projektirana površina ima dve od teh dveh dvojnih točk.

 

Tu lahko najdete izvirno objavo v angleščini: http://www.unf.edu/~ddreibel/research/sphere.html

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *