Tropska interpolacija

Frank Sottile 
9. oktobra 2004, College Station, Teksas.
   Člen za Izdaja Emissary iz jeseni 2004, glasilo MSRI. ArXiv.org/math/0501146.


Vsi vedo, da dve točki določata črto, in mnogi ljudje, ki so študirali geometrijo, vedo, da pet točk na ravnini določi stožnico. Na splošno, če imate v ravnini m naključnih točk in želite skozi vse od njih opraviti racionalno krivuljo stopnje d, ne moremo rešiti te interpolacijske težave (če je m prevelik) ali neskončno število rešitve (če je m premajhen) ali končno število rešitev (če je m ravno desno). Izkazalo se je, da “m ravno desno” pomeni m = 3d-1 (m = 2 za črte in m = 5 za stožnice).

Še težje vprašanje je, če je m = 3d-1, koliko racionalnih krivulj stopnje d interpolirajo točke? Pokličimo to številko Nd, tako da sta N1 = 1 in N2 = 1, ker sta črta in stožnica prejšnjega odstavka edinstvena. Že dolgo je znano, da je N3 = 12, leta 1873 pa je Zeuthen [Ze] pokazal, da je N4 = 620. To je bilo, ko so zadeve stale pred približno desetimi leti, ko sta Kontsevich in Manin [KM] uporabila asociativnost v kvantni kohomologiji, da bi to število ponujala elegantno.

Raziskovalne teme v semestru MSRI Winter 2004 za topološke vidike realne algebraične geometrije so vključevale enumerativno realno algebraično geometrijo, tropsko geometrijo, realne krivulje ravnine in aplikacije realne algebraične geometrije. Vsi so vtkani v razvijajoči se zgodbi tega interpolacijskega problema, prototipnega problema enumeracijske geometrije, ki je umetnost štetja geometrijskih številk, ki jih določajo določene pogostosti. Tukaj je še ena težava: koliko vrstic v prostoru izpolnjuje štiri določene vrstice? Če želite odgovoriti na to, upoštevajte, da tri vrstice ležijo na edinstvenem dvoplastnem hiperboloidu.

Tri vrstice so v enem odločanju, druga odločitev pa je sestavljena iz vrstic, ki izpolnjujejo navedene tri vrstice. Ker je hiperboloid definiran s kvadratno enačbo, jo bo četrta črta dosegla v dveh točkah. Skozi vsako od teh dveh točk je v drugi odločbi črta, to sta dve vrstici, ki ustrezata našim štirim danim vrsticam.

Enumerativna geometrija najbolje deluje na kompleksnih številih, saj je število realnih številk precej subtilno odvisno od konfiguracije številk, ki dajejo pogostost. Četrta črta lahko na primer izpolnjuje hiperboloid v dveh pravih točkah ali v dveh kompleksnih konjugiranih točkah, zato sta dve ali nič resničnih vrstic, ki izpolnjujejo vse štiri. Na podlagi številnih primerov smo pričakovali, da bi lahko vsi enumeracijski problemi vse svoje rešitve bili resnični [So].

Druga taka težava je 12 racionalnih krivulj, ki interpolirajo 8 točk v ravnini. Večina matematikov je seznanjena z vozliščno (racionalno) kubično levo spodaj. Obstaja še ena vrsta resnične racionalne kubične, prikazane na desni.

              
 

V drugi krivulji se na izolirani točki srečata dve kompleksni konjugirani veji. Če pustimo N (t) število realnih krivulj tipa t, ki interpolirajo 8 danih točk, potem sta Kharlamov in Degtyarev [DK] pokazala, da

N(  ) – N(  ) = 8 .”

Tukaj je opis njihovih osnovnih topoloških metod.

Ker je takšnih krivulj največ 12, je N(  ) – N(  ) \ leq 12, zato obstaja 8, 10 ali 12 realnih racionalnih kubikov, ki interpolirajo 8 realnih točk v ravnini, odvisno od števila (0, 1, ali 2) kubike z izolirano točko. Tako bo 12 pravih racionalnih kubikov interpoliralo poljubno 8 od 9 točk presečišča dveh kubičnih spodaj.

Welschinger [W], ki je bil zadnji zimski MSRI postdoc, je ta primer razvil v teorijo. Na splošno so singularnosti resnične racionalne ravne krivulje C vozlišča ali izolirane točke. Pariteta števila vozlišč je njen znak s (C), ki je bodisi 1 ali -1. Glede na 3d-1 realne točke v ravnini, Welschinger šteje absolutno vrednost količine

 s( C ) ,

vsoto vseh realnih racionalnih krivulj C stopnje d, ki interpolirajo točke. Pokazal je, da ta tehtana vsota ni odvisna od izbire točk. Napišite Wd za ta invariant Welschingerja. Na primer, pravkar smo videli, da je W3 = 8.

To je bil preboj, saj je Wd (skoraj) prvi resnično netravni invariant v enumerativni realni algebrski geometriji. Upoštevajte, da je Wd spodnja meja za število realnih racionalnih krivulj skozi realne točke 3d-1 v ravnini in Wd \ leq Nd.

Mikhalkin, ki je bil organizator semestra, je ključ do računanja Wd z uporabo tropske algebraične geometrije [Mi]. To je geometrija tropskega semestra, kjer operacije max in + na realnih številkah nadomestijo običajne operacije + in množenja. Tropski polinom je kristalno linearna funkcija oblike

T(x,y)  =  max(i,j) {x i  +  y j  + ci,j} ,

kjer je izračun z običajnimi aritmetičnimi operacijami in je maksimalen prevzem končne podmnožice Z2 eksponent T in ci, j realni koeficienti števila T. Tropski polinom T definira tropsko krivuljo, ki je množica točke (x, y), kjer T (x, y) ni diferencibilen. Tukaj je nekaj tropskih krivulj.

Stopnja tropske krivulje je število žarkov, ki potekajo do neskončnosti v kateri koli od treh smeri zahod, jug ali severovzhod. Tropska krivulja je racionalna, če gre za kičastno linearno potopitev drevesa. Vozlišča imajo valenco 4.

Mikhalkin je pokazal, da obstaja le končno veliko racionalnih tropskih krivulj stopnje d interpoliranje 3d-1 generičnih točk. Medtem ko je število takšnih krivulj odvisno od izbire točk, Mikhalkin pritrdi pozitivne množnosti v vsako tropsko krivuljo, tako da tehtana vsota ne predstavlja in je dejansko enaka Nd. Prav tako je zmanjšal te množnosti in štetje tropskih krivulj v kombinatoriko mrežnih poti v trikotniku stranske dolžine d.

Mikhalkin je uporabil korespondenco, ki je vključevala mapo Log: (C *) 2 -> R2, ki ga definira (x, y) | -> (log | x |, log | y |) in določena “velika kompleksna meja” kompleksna struktura na (C *) 2. V tej veliki kompleksni meji se racionalne krivulje stopenj d interpolirnih 3d-1 točk v (C *) 2 deformirajo v “kompleksne tropske krivulje”, katerih slike pod logom so običajne tropske krivulje, ki interpolirajo slike točk. Množnost tropske krivulje T je število kompleksnih tropskih krivulj, ki tvorijo T.

Kaj pa pravih krivulj? Po tej korespondenci je Mikhalkin pri vsaki tropski krivulji pritrdil resnično množljivost in pokazal, da če tropske krivulje, ki interpolirajo dane 3d-1 točke, imajo skupno realno množino N, potem obstajajo 3d-1 realne točke, ki so interpolirane z N realnimi racionalnimi krivuljami stopnja d. Ta resnična množljivost se ponovno izrazi v smislu mrežnih poti.

Kaj pa Welschingerjev invariant? Na enak način je Mikhalkin pritrdil podpisano težo za vsako tropsko krivuljo (tropsko različico Welschingerjevega znaka) in pokazal, da ustrezna tehtana vsota ustreza Welschingerjevemu invariantu. Kot prej, se lahko ta tropska podpisana masa izrazi v obliki mrežnih poti.

Med semestrom MSRI so Itenberg, Kharlamov in Shustin [IKS] uporabili rezultate Mikhalkina za oceno Welschingerjevega invarianta. Pokazali so, da je Wd \ geq d! / 3, pa tudi

log Wd  =  log Nd  +  O(d),       log Nd  =  3d logd + O(d) .

Tako je vsaj logaritmično, da so najbolj racionalne krivulje stopnje d interpolirajočih 3d-1 realnih točk v ravnini realne.

Obstajajo še drugi primeri tega pojava spodnjih meja, od katerih je prva pred Welschingerjevim delom. Denimo, da je d enak in pustimo W (s) resničen polinom stopnje k (d-k + 1). Potem sta Eremenko in Gabrielov [EG] pokazala, da obstajajo pravi polinomi f1 (s), …, fk (s) stopnje d, katerih Wronski determinant je W (s). Pravzaprav so dokazali nižjo omejitev na število k-črk polinomov, do enakovrednosti. Podobno, medtem ko je v MSRI, Soprunova in I [SS] sta proučevala redke polinomske sisteme, povezane s posetsi, ki kažejo, da je število realnih rešitev omejeno spodaj zaradi neravnovesja signala. Takšne spodnje meje za enumeracijske probleme, ki pomenijo obstoj resničnih rešitev, so pomembne za aplikacije.

Na primer, ta zgodba je bila na večernih urah piva na pivu Delavnica MSRI o geometrijskem modeliranju in realni algebraični geometriji aprila 2004. Udeleženec Schicho je spoznal, da je rezultat W3 = 8 za kubike pojasnil, zakaj je bila metoda, ki jo je razvil, vedno delovala. To je bil algoritem za izračun približne parametrizacije loka krivulje preko realnega racionalnega kubičnega interpoliranja 8 točk na loku. Ostal je, da bi našli pogoje, ki zagotavljajo obstoj rešitev, ki je blizu luk. To je ravnokar rešil Fiedler-Le Touzé, postdoc MSRI, ki je študiral kubike (ni nujno racionalno), ki interpolirajo 8 točk, da bi razvrstili dejanske ravne krivulje stopnje 9.


Bibliografija

[DK] A. I. Degtyarev in V. M. Kharlamov, Topološke lastnosti realnih algebraičnih sort: Rokhlinova pot, Uspehi Mat. Nauk 55 (2000), št. 4 (334), 129-212.
[EG] A. Eremenko in A. Gabrielov, Degrees of real Wronski maps, Discrete Comput. Geom. 28 (2002), št. 3, 331-347.
[IKS] I. Itenberg, V. Kharlamov in E. Šustin, Logaritemska enakovrednost invariantov Welschingerja in Gromov-Witten, arXiv: math.AG/0407188.
[KM] M. Kontsevich in Yu. Manin, razredi Gromov-Witten, kvantna kohomologija in enumerativna geometrija, Comm. Matematika. Fiz. 164 (1994), št. 3, 525-562.
[Mi] G. Mikhalkin, Enumerativna tropska algebraična geometrija v R2, arXiv: math.AG/0312530.
[SS] E. Soprunova in F. Sottile, Spodnje vezi za resnične rešitve za redke polinomske sisteme, arXiv: math.AG/0409504.
[Torej] F. Sottile, Enumerativna realna algebraična geometrija, Algoritemska in kvantitativna realna algebraična geometrija (Piscataway, NJ, 2001), DIMACS Ser. Diskretna matematika. Theoret. Comput. Sci., Vol. 60, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2003, str. 139-179.
[W] J.-Y. Welschinger, invariants realnih racionalnih simplektičnih 4-manifoldov in spodnjih meja v realni enumerativni geometriji, C. R. Math. Acad. Sci. Pariz 336 (2003), št. 4, 341-344.
[Ze] H. G. Zeuthen, Almindelige Egenskaber in Systemer af plane Kurver, Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, Naturvidenskabelig in Mathematisk, Afd. 10 Bd. IV (1873), 286-393.

 

Vir: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html